Глава 1. Функции комплексного переменного

§1. Понятие функции комплексного переменного. Предел, непрерывность функции

С некоторыми функциями комплексного переменного мы уже встречались (см. §2 гл.1, ч.1). Дадим теперь общее определение функции комплексного переменного. Рассмотрим множество E комплексных чисел , лежащих в комплексной плоскости (z), и множество G комплексных чисел лежащих в комплексной плоскости (w) (см. рис. 1).

Определение 1. Если каждому комплексному числу поставлено в соответствие одно или несколько комплексных чисел множества G, то говорят, что на множестве задана однозначная или многозначная функция комплексного переменного. Пишут

Множество E называют областью определения функции, а множество G - множеством значений функции.

Согласно определению 1 каждой паре действительных чисел поставлена в соответствие пара действительных чисел Иными словами, на множестве E заданы две вещественные функции и двух вещественных переменных, т. е. одна функция комплексного переменного эквивалентна двум вещественным функциям, при этом

Приведем несколько примеров.

Пример 1.

Эта функция однозначная.

Пример 2.

Эта функция многозначная (n-значная).

Пример 3.

Эта функция бесконечнозначная.

Все эти функции заданы на всей комплексной плоскости, исключая бесконечно удаленную точку Последняя функция не определена еще и в точке Заметим, что бесконечно удаленная точка на комплексной плоскости единственная.

Говорят, что функция отображает множество E в множество G.

Пусть E - круговой сектор: r<R, Найдем область G, в которую отобразит функция область E. Пусть тогда Отсюда ясно, что функция отображает сектор E в верхний полукруг радиуса (см. рис. 2).

Это отображение взаимнооднозначное, т.е. каждой точке множества Е (прообразу) соответствует единственная точка (образ) множества G. И наоборот, образу соответствует единственный прообраз.

Заметим, что границе области E соответствует граница области G.

Возьмем теперь в качестве области E сектор При отображении точки, лежащие на луче отображаются в точки луча и точки, лежащие на луче отображаются в точки того же луча т.е. взаимная однозначность отображения нарушается.

Чтобы сохранить взаимную однозначность отображения, сделаем разрез комплексной плоскости по положительной полуоси u и будем считать, что верхний берег разреза – это образ луча а нижний – образ луча (см. рис. 3).

Если областью E является сектор то взаимная однозначность отображения опять нарушится. Чтобы ее сохранить, предположим, что при изменении аргумента прообраза от до образ соскальзывает с нижнего разреза плоскости на второй (нижний) слой той же плоскости (см. рис. 4).

В этом случае образы точек, лежащие на лучах, например, и будут лежать на одном луче но первые на верхнем листе плоскости , а вторые на нижнем, и взаимная однозначность отображения сохранится.

Ясно ,что вся плоскость z функцией отобразится в трехслойную плоскость с разрезом по положительной полуоси u. При этом верхний берег разреза первого листа совпадает с нижним берегом разреза третьего.

Если то образом плоскости z будет n–слойная (n-листная) плоскость с разрезом по действительной полуоси u. Такой многослойный образ называют поверхностью Римана.

Пусть областью определения функции является полоса Найдем образ линии т.е. кривую, в которую она отображается функцией

Запишем уравнение прямой в комплексном виде: параметр.

Тогда

(1)

Уравнения (1) являются параметрическими уравнениями образа линии Исключив параметр t, получим т.е. образом линии является парабола.

При т.е. прямая отобразится в отрицательную полуось. Полоса отобразится, очевидно, в часть плоскости внутри параболы с разрезом по отрицательной полуоси (см. рис. 5).

Рассмотрим последовательность комплексных чисел

(2)

Определение 2. Число называется пределом последовательности (2), если при Пишут

Если то из определения 2 следует

при Следовательно,

при (3)

Очевидно и обратное утверждение, если выполняется (3), то

Если то при если (4)

Определение 3. Число называется пределом однозначной функции в точке если для всякой последовательности аргумента сходящейся к соответствующая последовательность значений функции сходится к Пишут

Подчеркнем, что если предел функции существует, то он не зависит ни от способа, ни от пути стремления последовательности к точке

Если

то из существования предела следует существование следующих пределов: (5)

(6)

Если то функция называется непрерывной в точке Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Например, функция непрерывна во всей комплексной плоскости.