16.4 Точка на поверхности
Точка находится на поверхности, если она принадлежит какой – либо линии, расположенной на данной поверхности. На практике чаще всего приходится определять положение одной точки или их множества на поверхности конкретных геометрических тел.
Геометрические тела делятся на две группы. К первой группе относятся многогранники, ко второй поверхности вращения. На рисунке 98 дан чертеж призмы и фронтальная проекция точки Е (Е2), лежащей на поверхности призмы. Требуется найти горизонтальную проекцию точки (Е1), если она лежит на видимой грани призмы
На основании условия принадлежности точки поверхности, через точку Е в грани А2А/2 В2В/2 проходит прямая 121/2 параллельная ребрам призмы. Горизонтальные проекции точек 11 и 1/1 определяются по принадлежности их отрезкам нижнего АВ и верхнего А/ В/ оснований призмы. Проекция точки Е1 будет находиться на проекции прямой 111/1.Так как грань АА/В/В на горизонтальной проекции видима, то и проекция Е1 будет видима.
На рисунке 99 задана горизонтальная проекция точки М, лежащей на поверхности трехгранной пирамиды. Требуется определить ее фронтальную проекцию.
Рисунок 98 Рисунок 99
Как и в предыдущей задаче, с учетом видимости граней пирамиды и точки М, находим недостающую фронтальную проекцию точки М2, используя, в качестве вспомогательной, прямую S1, проведенную на грани АСS.
На рисунке 100 показаны точки А и В на поверхности конуса, а на рисунке 101 –точки А и В на поверхности сферы. Заданы фронтальная проекция А2 и горизонтальная проекция В1, принадлежащих поверхностям конуса и сферы. Требуется найти их недостающие проекции, при условии, что точка А находится на обращенной к наблюдателю поверхности сферы , точка В – на невидимой.
На рисунке 100 горизонтальная проекция точки А1 определена введением образующей конуса через точку А, а горизонтальная проекция точки В с помощью параллели радиуса R2, полученной от рассечения конуса плоскостью Р (Р2).
Рисунок 100 Рисунок 101
Так как сферическая поверхность образуется вращением окружности вокруг одного из ее диаметров, то любая ее точка при вращении описывает окружность соответствующего радиуса. Если плоскость этой окружности параллельна плоскости проекций, то окружность проецируется на нее без искажения. Через точку А на поверхности сферы нужно провести окружность радиуса R1, которая проецируется на плоскости П2 в виде прямой, а на плоскость П1- в виде окружности. Горизонтальная проекция А1 будет находиться на этой окружности.
Аналогично строится фронтальная проекция В2, но с учетом невидимости, на окружности радиуса R2 ближе к плоскости П1 (дальше от наблюдателя).
Построения точек А и В на поверхности конуса понятно из рисунка 100.
17 Пересечение поверхностей плоскостью
При пересечении геометрических тел плоскостью получается плоская фигура, называемая сечением. В сечении многогранника плоскостью получается плоская фигура – многоугольник, а в сечении кривой поверхности – плоская кривая линия. Для построения контура сечения многогранника строят точки пересечения всех его ребер с плоскостью, получая вершины многоугольника. Для построения линии сечения кривой поверхности с плоскостью определяют точки пересечения ряда образующих поверхности с плоскостью, которые затем соединяют плавной кривой.
Таким образом, задачи на пересечение поверхностей плоскостью сводится к многократному решению задачи на пересечение прямой или кривой линии с плоскостью.
Рассмотрим несколько примеров.
На рисунке 102 показано построение фигуры сечения наклонной трехгранной призмы фронтально проецирующей плоскостью Р(Р2).
Рисунок 102 Рисунок 103
Так как плоскость Р - фронтально проецирующая, то фронтальная проекция сечения призмы плоскостью совпадает со следом плоскости Р2. Точки 12, 22, 32 – фронтальные проекции точек пересечения ребер призмы с плоскостью Р. Горизонтальные проекции точек 11, 21, 31 определяются по принадлежности их соответствующим ребрам призмы.
На рисунке 103 показано построение сечения наклонного кругового цилиндра фронтально проецирующей плоскостью Р (Р2).
На поверхности цилиндра проведены восемь образующих линий. Фронтальная проекция сечения определяется точками пересечения образующих с плоскостью Р и совпадает со следом Р2, так как плоскость Р перпендикулярна плоскости П2. Горизонтальная проекция сечения определяется по принадлежности точек сечения соответствующим образующим.
На рисунке 104 показаны линии пересечения прямого кругового конуса плоскостью Р (Р2). Плоскость Р, перпендикулярная к оси конуса, пересекает поверхность конуса по окружности радиуса R.
Рисунок 104
Плоскость Г (Г1; Г2), параллельная двум образующим конуса, пересекает его поверхность по гиперболе. Плоскость Т (Т2) пересекает поверхность конуса по эллипсу, т. к. она пересекает все образующие; плоскость R (R2) параллельная образующей - по параболе. Плоскость Q (Q2), проходящая через вершину конуса, пересекает его поверхность по образующим: фигура сечения - треугольник.
Рисунок 105
На рисунке 105 дано построение сечения прямого кругового цилиндра с плоскостью Р.
Горизонтальная проекция сечения совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра, так как цилиндр является горизонтально проецирующей поверхностью. Фронтальные проекции точек сечения строятся по горизонтальным проекциям и по принадлежности точек сечения плоскости Р. Малая ось эллипса является его горизонталью, большая ось перпендикулярна малой. Большая ось эллипса 8 - 4 (точка 8 – низшая точка сечения, а 4 - высшая ) определяется с помощью горизонтально проецирующей плоскости Г, проходящей через ось цилиндра и перпендикулярно плоскости Р. Малая ось эллипса ограничена точками 2 и 6, найденными с помощью вспомогательной горизонтали, расположенной в плоскости Р, проведенной через ось вращения цилиндра параллельно плоскости Р ( на чертеже параллельно следу Р1).
На рисунке 106 построены проекции сечения треугольной пирамиды плоскостью общего положения, заданной следами.
Основание пирамиды и горизонтальный след Р1 расположены на плоскости П1. Поэтому горизонтальные проекции точек 11 и 21 определятся на пересечении следа Р1 с треугольником А1В1С1. Фронтальная проекция точек 12 и 22 лежат на оси Х. Проекции точек 3 и 4 определяются как
Рисунок 106
точки пересечения ребер АC и ВC с плоскостью Р. Соединив соответствующие проекции точек, получим проекции многоугольника - сечения пирамиды плоскостью.
Рисунок 107
На рисунке 107 дано построение сечения прямого кругового конуса плоскостью общего положения. Поскольку основание конуса расположено в горизонтальной плоскости проекций, проекции точек 11 и 21 определяются на пересечении горизонтального следа плоскости Р1 с основанием конуса. Фронтальные проекции 12 и 22 находятся по линиям связи на оси Х. Далее задача сводится к определению точек пересечения ряда образующих с плоскостью Р. Точка 4 (наивысшая для сечения) определена с помощью ввода вспомогательной плоскости Г, перпендикулярной плоскости П1, проходящей через вершину конуса и перпендикулярно плоскости Р ( на чертеже Г1 перпендикулярно следу Р1). Для определения точек 3 и 5 (расположенных на очерковых образующих конуса) введены плоскости R и Ф .Для определения точек 2 и 6 введена плоскость Q, перпендикулярная П1 и проходящая через образующие, горизонтальные проекции которых параллельны горизонтальному следу плоскости Р1.
Подобные задачи решаются проще, если секущие плоскости преобразовать в проецирующие.
Рисунок 108
Например, на рисунке 108, для построения сечения поверхности трехгранной призмы плоскостью, общего положения Р, выполнена перемена плоскостей проекций и плоскость Р преобразована в проецирующую относительно плоскости П4. Проекции призмы на плоскости П4 определятся на пересечении ребер призмы А4А4/, В4В4/, С4С4/ со следом Р4, так как плоскость Р перпендикулярна плоскости П4. Горизонтальная и фронтальная проекции точек сечения находятся по линиям связи на соответствующих ребрах призмы.