- •Глава 8. Числовые ряды
- •8.1. Основные понятия
- •8.1. 1. Определение числового ряда
- •8.1.2. Сходимость числового ряда. Сумма ряда
- •8.1.3. Свойства сходящихся рядов
- •8.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •8.4.2. Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов
- •8.4.3. Радикальный признак Коши сходимости числового ряда
- •8.4.4. Интегральный признак Коши
- •8.5. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •8.6. Знакопеременные ряды. Теорема об абсолютной сходимости числового ряда
- •Глава 9. Степенные ряды
- •9.1. Функциональные ряды. Общие понятия
- •9.2. Равномерная сходимость функциональных рядов. Теорема Вейерштрасса
- •9.3. Теорема Абеля о виде области сходимости степенного ряда
- •9.4. Радиус и область сходимости степенного ряда
- •9.5. Ряды Тейлора и Маклорена
- •9.6. Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций
- •9.7. Применение рядов для приближенных вычислений
- •Вопросы к экзамену Неопределённый интеграл
- •Определённый интеграл
- •77. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. Формула Лейбница. Гамма-функция. Дифференциальные уравнения
- •Шершнев Владимир Григорьевич математический анализ
- •Часть 2. Интегральное исчисление
- •117997, Москва, Стремянный пер. 36.
8.4.2. Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов
Теорема 8. 5. Если для знакоположительного ряда существует предел отношения последующего члена ряда к предыдущему при неограниченном возрастании их номеров, т. е. существует предел , то:
-
если < 1, то ряд сходится; 2) если > 1, то ряд расходится;
3) если = 1, то данный признак не позволяет решить вопрос о сходимости ряда (ряд может как сходиться, так и расходиться).
Д о к а з а т е л ь с т в о.1. Пусть . Если < 1, то всегда найдется число q, удовлетворяющее неравенству < q < 1. В этом случае по определению предела существует такое число N, что если номер члена ряда n > N, то отношение меньше этого числа q, т.е. . Данное неравенство представим в следующем виде . Отношение является отношением последующего члена ряда к предыдущему для бесконечной убывающей геометрической прогрессии , которая сходится, так как знаменатель прогрессии меньше единицы (q < 1). В соответствии с теоремой 8.4 (третий признак сравнения рядов) ряд сходится.
2. Пусть . Тогда существует такое число q, которое больше единицы, но меньше , т. е. . В этом случае существует такое число N, что если номер члена ряда n > N, то отношение больше q, т. е. . Тогда по теореме 8.4 ряд расходится.
Данный признак Даламбера является наиболее простым и часто применяемым. Однако он дает ответ на вопрос о сходимости ряда только в тех случаях, когда ряд достаточно быстро сходится или расходится.
Пример 8.7. Исследовать сходимость ряда .
Находим . Следовательно, ряд сходится.
Пример 8.8. Исследовать сходимость ряда .
Находим
.
Ряд сходится.
Пример 8.9. Исследовать сходимость ряда .
Найдем предел . При этом воспользуемся правилом Лопиталя.
Находим
.
В данном случае признак Даламбера не позволяет решить вопрос о сходимости ряда.
Пример 8.10. Исследовать сходимость ряда .
Найдем предел . При этом воспользуемся вторым замечательным пределом. Находим
.
Следовательно, ряд сходится.
Пример 8.11. Исследовать сходимость ряда .
Находим
.
Ряд сходится.
8.4.3. Радикальный признак Коши сходимости числового ряда
Теорема 8.5. Если для знакоположительного ряда существует предел, то: 1) если < 1, то ряд сходится; 2) если > 1, то ряд расходится; 3) если = 1, то данный признак не позволяет решить вопрос о сходимости ряда (ряд может как сходиться, так и расходиться).
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Пусть . Если < 1, то всегда найдется число q, удовлетворяющее неравенству < q < 1. Тогда по определению предела существует такое число N, что если n > N, то . Возведем это неравенство в n-ю степень, имеем . При геометрическая прогрессия сходится. По теореме 8.2 (первый признак сравнения) ряд сходится.
2. Пусть . Если > 1, то всегда найдется число q, удовлетворяющее неравенству 1 < q < . Тогда существует такое число N, что если n > N, то . Возведем это неравенство в n-ю степень, имеем . При геометрическая прогрессия расходится. По теореме 8.2 (первый признак сравнения) ряд расходится.
Пример 8. 12. Исследовать сходимость ряда .
Находим . Ряд сходится.