- •Часть I
- •Часть I
- •Часть I конспект лекций
- •127994 Москва, а-55, ул. Образцова д. 9, стр.9. Типография миит
- •Лекция 1 механика. Часть I
- •1.1 Кинематика
- •1.1.1 Основные понятия
- •1.1.2 Равномерное движение по прямой
- •1.1.3 Равнопеременное движение по прямой
- •1.1.4 Движение вдоль прямой с переменным ускорением
- •1.1.5 Движение тела, брошенного под углом к горизонту
- •1.1.6 Движение точки по окружности
- •Лекция 2 механика. Часть II
- •2.1 Масса и импульс тела
- •2.1.1 Масса
- •2.1.2 Импульс
- •2.2 Динамика. Законы ньютона
- •2.2.1 Понятие силы. Инерциальные системы отсчёта. Первый закон Ньютона
- •2.2.2 Второй закон Ньютона
- •2.2.3 Третий закон Ньютона. Вес тела
- •2.2.4 Закон Всемирного тяготения
- •2.2.5 Примеры сил. Рекомендации к решению стандартных
- •Лекция 3 механика. Часть III
- •3.1 Динамика вращательного движения
- •3.1.1 Центр масс системы материальных точек.
- •3.1.2 Момент инерции. Теорема Штейнера
- •3.1.3 Момент импульса
- •3.1.4 Момент силы
- •3.1.5 Основной закон динамики вращательного движения
- •Лекция 4 механика. Часть IV
- •4.1 Прецессия гироскопа
- •4.2 Работа и энергия
- •4.2.1 Работа силы. Мощность
- •4.2.2 Кинетическая энергия
- •4.2.3 Первая и вторая космические скорости
- •4.2.4 Потенциальная энергия (определения)
- •Лекция 5 механика. Часть V
- •5.1 Работа и энергия (окончание)
- •5.1.1 Потенциальная энергия
- •5.2 Законы сохранения
- •5.2.1 Закон сохранения импульса
- •5.2.2 Закон сохранения момента импульса. Трёхстепенной гироскоп
- •5.2.3 Закон сохранения механической энергии
- •5.2.4 О законах сохранения в природе. Принцип симметрии
- •Лекция 6 механика. Часть VI
- •6.1 Основы специальной теории относительности (сто)
- •6.1.1 Принцип относительности Галилея.
- •6.1.3 Преобразования Лоренца
- •6.1.4 Следствия из преобразований Лоренца
- •Лекция 7 механика. Часть VII.
- •7.1 Основы релятивистской динамики
- •7.1.2 Энергия тела в сто.
- •7.1.3 Связь энергии и импульса тела.
- •7.2 Электростатика. Часть I
- •7.2.1 Закон сохранения электрического заряда и закон Кулона – основополагающие законы электростатики
- •7.2.2 Напряженность электрического поля.
- •Лекция 8 электростатика. Часть II
- •8.1 Характеристики электричесокого поля
- •8.1.1 Работа по переносу заряда в электрическом поле
- •8.1.2 Потенциал – энергетическая характеристика
- •8.1.3 Связь потенциала и напряжённости электрического поля
- •8.1.4 Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме
- •8.1.5 Примеры применения теоремы Гаусса для электрического поля в вакууме
- •Лекция 9 электростатика. Часть III
- •9.1 Характеристики электричесокого поля
- •9.1.1 Примеры применения теоремы Гаусса для электрического поля в вакууме (продолжение)
- •9.1.2 Электрический диполь. Диполь в однородном и неоднородном электрических полях
- •9.2 Диэлектрики в электрическом поле
- •9.2.2 О пьезоэффекте и сегнетоэлектричестве
- •Лекция 10 электростатика. Часть IV
- •10.1 Диэлектрики в электрическом поле (Часть 2)
- •10.1.1 Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике
- •10.2 Металлы в электрическом поле
- •10.2.1 Напряжённость и потенциал электрического поля
- •10.2.2 Электроёмкость уединённого проводника
- •10.2.3 Энергия уединённого заряженного проводника
- •10.2.4 Электрические конденсаторы. Электроёмкость
- •Лекция 11 постоянный электрический ток. Часть I
- •11.1 Металлы в электрическом поле (Часть II)
- •11.1.1 Энергия заряженного конденсатора.
- •11.2 Электрический ток в металлах
- •11.2.1 Классическая теория электропроводности. Определения: сила тока, плотность тока
- •11.2.2 Закон Ома в дифференциальной форме
- •11.2.3 Закон Ома для однородного участка цепи. Электрическое сопротивление
- •11.2.4 Электродвижущая сила. Закон Ома для неоднородного участка цепи. Закон Ома для замкнутой цепи
- •Лекция 12 постоянный электрический ток. Часть II
- •12.1 Электрический ток в металлах (продолжение)
- •12.1.1 Соединение элементов цепи постоянного тока. Правила Кирхгофа
- •12.1.2 Закон Джоуля-Ленца
- •12.1.3 Достоинства и недостатки классической теории
- •12.2 Электрический ток в вакууме, в жидкостях
- •12.2.1 Явление термоэлектронной эмиссии. Вакуумный диод
- •12.2.2 Электрический ток в жидкостях. Явление электролиза
- •12.2.3 Электрический ток в газах
- •Лекция 13 магнитное поле. Часть I
- •13.1 Индукция магнитного поля
- •13.1.1 Магнитное поле. Силовые линии. Сила Ампера.
- •13.1.2 Взаимодействие параллельных токов.
- •13.1.3 Закон Био-Савара-Лапласа
- •Лекция 14 магнитное поле. Часть II
- •14.1 Индукция магнитного поля (Часть II)
- •14.1.1 Действие магнитного поля на движущийся заряд.
- •14.1.2 Эффект Холла. Использование эффекта Холла
- •14.1.3 Теорема о циркуляции вектора . Примеры применения теоремы
- •14.1.4 Теорема Гаусса для магнитного поля
- •Лекция 15 магнитное поле. Часть III
- •15 Индукция магнитного поля (Часть III)
- •15.1.1 Работа по перемещению проводника с током
- •15.1.2 Магнитный момент витка с током.
- •15.2 Магнитое поле в веществе
- •15.2.1 Гипотеза Ампера. Гиромагнитное отношение
- •15.2.2 Намагниченность . Теорема о циркуляции вектора
- •IdN2 InSdlcos nisdlcos npmdlcos Jdlcos ().
- •15.2.3 Связь векторов , и . Виды магнетиков.
- •15.2.4 Некоторые примеры
- •15.2.5 Вопросы для повторения
- •Лекция 16 магнитное поле. Часть IV
- •16.1 Магнитое поле в веществе
- •16.1.1 Парамагнетизм
- •16.1.2 Прецессия электронных орбит в атоме. Диамагнетизм
- •16.1.3 Ферромагнетизм. Петля гистерезиса
- •Лекция 17 электромагнитное поле
- •17.1 Электромагнетизм
- •17.1.1 Явление электромагнитной индукции
- •17.1.2 Явление самоиндукции
- •17.1.3 Явление взаимной индукции
- •17.1.4 Энергия магнитного поля
- •17.1.5 Система уравнений Максвелла
3.1.2 Момент инерции. Теорема Штейнера
Как мы уже говорили в разделе «кинематика», для упрощения математического описания вращательного движения удобно использовать характеристики, связанные не с линейным перемещением объёкта, а с угловым (углом поворота, угловой скоростью, угловым ускорением). При этом получаемые формулы по структуре оказываются подобны тем, которые выводятся в кинематике поступательного движения. Данный подход используется и в динамике вращательного движения, для описания которого можно ввести свои характеристики – аналоги ряда характеристик, используемых в динамике поступательного движения.
Прошлую лекцию мы начали с обсуждения понятия «масса» тела. Аналогом массы (мерой инертных свойств тела) при описании вращения является момент инерции.
Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называется выражение вида
I mr2, (3.3)
где m – масса точки, r – расстояние до этой оси.
Момент инерции тела (которое можно представить в виде совокупности материальных точек – см. рис. 3.4.а), рассчитывается по формуле
I , (3.4)
в которой знак интеграла означает суммирование моментов инерции всех точек с массами dm, из которых состоит тело массой M, причём каждая из них находится на своём расстоянии r от выбранной оси.
На практике тело удобно представлять в виде набора из N частей, каждую из которых с хорошей точностью можно считать точечной массой mi, находящейся на расстоянии ri от оси (рис. 3.4.б), и тогда момент инерции тела может быть рассчитан, как
I . (3.5)
Из определения момента инерции следует, что его величина зависит не только от общей массы тела, но также и от формы тела и от распределения массы по его объёму (какие-то части тела, например, могут быть изготовлены из более тяжёлого материала, а какие-то – из более лёгкого).
Очевидно: момент инерции неодинаков относительно разных осей, и поэтому, решая задачи на динамику вращательного движения, момент инерции тела относительно интересующей нас оси каждый раз приходится искать отдельно. Так, например, при конструировании технических устройств, содержащих вращающиеся детали (на железнодорожном транспорте, в самолетостроении, электротехнике и т. д.), требуется знание величин моментов инерции этих деталей. При сложной форме тела теоретический расчет его момента инерции может оказаться трудно выполнимым. В этих случаях предпочитают измерить момент инерции нестандартной детали опытным путем.
В некоторых случаях теоретический расчёт момента инерции достаточно прост. В качестве примера рассмотрим, как выводится выражение для I тонкого однородного кольца массой M и радиусом R относительно оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости (рис. 3.5).
Выделим на нашем кольце малый элемент массой dm. Поскольку он находится от оси вращение на расстоянии, равном радиусу кольца R, его момент инерции dI равен R2dm. Просуммировать моменты инерции всех элементов кольца означает взять интеграл вида I . Учитывая, что для всех элементов расстояние R до оси вращения одинаково, множитель R2 вынесем за знак интеграла, и, так как M, получим, что момент инерции кольца массой M и радиусом R относительно оси, проходящей через кольца перпендикулярно его плоскости
I MR2. (3.6)
Очевидно, что, поскольку толщина h кольца в итоговую формулу не входит, полученное выражение оказывается справедливым также для тонкого обруча и тонкостенного цилиндра.
Ось вращения может проходить через центр масс тела, а может и не проходить через него (рис. 3.6). В последнем случае для вычисления момента инерции пользуются теоремой Штейнера.
Согласно этой теореме, момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела M на квадрат расстояния d между осями:
I I0 Md2. (3.7)
На рис. 3.7 момент инерции I тела относительно вертикальной оси ОО равен моменту инерции I0 относительно вертикальной же оси ОО плюс выражение Md2. Существенно, что момент инерции I0 определяется не относительно оси симметрии КК тела (иногда он бывает известен из теории), именно относительно оси ОО, параллельной выбранной оси ОО.
В заключение в виде примеров приведём значения моментов инерции некоторых тел:
– момент инерции однородного диска (цилиндра) массой M и радиусом R относительно оси симметрии:
I MR2;
– момент инерции однородного шара массой M и радиусом R относительно оси, проходящей через его центр:
I MR2;
– момент инерции тонкого однородного стержня массой M и длиной l относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно самому стержню:
I Ml2.
В общем случае момент инерции твёрдого тела I kML2, где M – его масса, L – некоторый геометрический параметр, k – коэффициент, зависящий от формы тела и его положения относительно интересующей нас оси. Заметим: от размеров тела R может зависеть и его масса. Так, моменты инерции двух изготовленных из одного материала однородных шаров, радиус одного из которых в два раза больше радиуса другого, будут отличаться не в четыре, как это могло бы показаться на первый взгляд, а в целых 32 раза! Это вызвано тем, что возрастание радиуса в два раза означает восьмикратное увеличение массы шара (объём V 4/3R3, M V, где – плотность материала шаров).
В СИ единицей измерения момента инерции является кгм2.