Елементи аналітичної геометрії в n-вимірному просторі
§ 1. Гіперплощина й півиростір
З курсу аналітичної геометрії відомо, що будь-яке рівняння першого степеня А1х1+ А2 х 2 = С зображає на площині х1Ох2 пряму, перпендикулярну до вектора (А1, А2). Вектор (А1,А2) називають нормальним вектором прямої.
Якщо записати рівняння А1х1 + А2х2= С у вигляді рівняння у відрізках на осях, тобто , то числа а1 а2 виражають величини відрізків, які пряма відгинає на координатних осях.
Аналогічно рівняння А1х1 + А2х2 + Аіхі = С у тривимірному просторі зображає площину, перпендикулярну до вектора (А1 А2 А3), який називають нормальним вектором площини.
Рівняння є рівнянням площини у відрізках на осях, числа а1, а2, а3 — величини відрізків, що відгинаються площиною на координатних осях.
Рівняння площини в тривимірному просторі, а також прямої на площині, можна подати у
векторній формі () = р, де ° — одиничний вектор, перпендикулярний до площини, або
нормальний вектор площини; — поточний радіус-вектор площини, тобто вектор, який сполучає початок координат з довільною точкою площини;
р — відстань від початку координат до площини.
Рівняння () =р означає, що проекція будь-якого радіуса-вектора площини на напрям нормального вектора ° дорівнює р (рис. 5.1).
Узагальненням поняття прямої на площині та площини в тривимірному просторі є поняття гіперплоищни.
!Означення
Гіперплощиною в я-вимірному просторі називають геометричне місце точок (х1,х2,….,хп), координати яких задовольняють рівняння
А1х1 + А2х2 + ... +Апхп= С. (5.1)
Вважатимемо, що ця гіперплощина нормальна до вектора ( A1, А2,…..,Ап) і що рівнянню
відповідає гіперплощина, яка відтинає на координатних осях відрізки а1 а2, аn.
Векторне рівняння в n-вимірному просторі визначає гіперплощину, нормальну до одиничного вектора ° і розміщену на відстані р від початку координат. Пряма на площині ділить її на дві частини, які називають півплощинами. Площина в тривимірному просторі також ділить весь простір на дві частини, які називаються півпросторами. Аналогічно гіперплощина в n-вимірному просторі ділить цей простір на дві частини, кожну з яких називають півпростором.
Нехай деяка гіперплощина в л-вимірному просторі задається рівнянням .Тоді для точок М одного з иівиросторів проекції ОС1 векторів, що їх зображають, на
напрям нормального вектора ° менші від р, а для точок N другого півиростору проекції ОС2 векторів, що їм відповідають, на ° більші від р (рис. 5.2).
Отже, одним з півпросторів є множина векторів (точок) для яких виконується нерівність , а для векторів (точок) другого півпростору — . Сама гіпершю шина може бути приєднана до одного з півпросторів. Тоді вся множина векторів (точок) n-вимірного простору поділяється на два види: вектори (точки), для яких , і точки, для яких або навпаки і . Для того щоб визначити належність вектора (точки) до того чи іншого півпростору, треба координати вектора підставити в нерівність, що зображає цей півпростір. Якщо нерівність виконується, то вектор (точка) належиіь йому, в противному разі — не належить.
Приклад. Чи належить точха ссмивимірного простору X* (1,0,2,3, 5,-2 4) півпростору 2х1-Зх2-6х3+х4 + x5 -11х6 + 3x7≥4?
Розв'язання. Підставивши координати точки в нерівність, дістанемо 2*1-3*0-6*2+1*3 + 1*5-11*(- 2) + 3*4 = 32 >4
Отже, точка належить заданому півпростору