11Обратная матрица
.docОбратная матрица:
Определение: Матрица Х, удовлетворяющая вместе с заданной матрицей А равенствам XA=AX=En (1),
(где Еn – единичная матрица некоторого порядка n) наз. обратной к А и обозначается A–1.Поскольку А и A–1 перестановочны, они обе должны быть квадратными того же порядка n. Из (1) в силу того, что ранг произведения двух матриц не превосходит рангов сомножителей, мы имеем Rg EnRg A. Отсюда RgA=n. Поэтому матрица А может иметь обратную только тогда, когда её детерминант 0. Приведенное условие является не только необходимым, но и достаточным для существования обратной матрицы. Предложение: (1) Каждая квадратная матрица с детерминантом, отличным от нуля, имеет обратную матрицу, и притом только одну. Доказательство: Для каждой матрицы А с det A0 существует единственная матрица Х такая, что АХ=Е. Действительно, при любом j столбец xj матрицы Х должен удовлетворять условию Ахj=еj, где еj – j-й столбец единичной матрицы. Подробнее это условие записывается сист. линейных уравнений: (2)
a11xi1+...+a1nxjn=0 По правилу Крамера эта система
............................. уравнений имеет единственное
aj1xi1+...+ajnxjn=1 решение, и, => каждый столбец
............................. матрицы Х однозначно определен.
an1xi1+...+annxjn=0 Докажем, что ХА=Е. С этой целью заметим, что det X0 и по только что доказанному существует такая матрица Y, что XY=Е. Мы найдем Y, если умножим обе части последнего равенства слева на матрицу A. Тогда AХY=А, откуда в силу АX=Е следует Y=A. Итак, матрица Х удовлетворяет обоим условиям (1). Способ, примененный при доказат-ве существования, является основой для нахождения обратной матрицы. Согласно правилу Крамера i-я неизвестная в системе (2) находится по формуле хji=i/det A, где i – детерминант матрицы, получаемой из А заменой её i-го столбца на j-й столбец единичной матрицы. Разлагая i по этому столбцу, мы имеем только одно слагаемое, так как в ej только один элемент равен 1, а остальные – нули. =>, i = (–1)i+j Mij, где Mij – дополнительный минор элемента aij в матрице А. Окончательно:
xji = ((–1)i+j Mij)/det A, (3). Можно решать систему (2) и методом Гаусса.