Робота 3.2. Вивчення коливань струни Теоретична довідка

Рис. 3.5

Розглянемо процес розповсюдження хвиль у стру­ні, яку закріплено на кінцях. Найпростішу хвилю, яку зображено на рис. 3.5, можна утворити, відтягнувши струну, і від­пу­стив­ши її. Утворене збурення пересу­вається вздовж стру­ни, не змінюючи своєї форми, при цьому частки струни відхиляються перпендикулярно до напрямку розповсюдження хвилі (напрямку струни). Таке збурення називається поперечною біжучою хвилею. Швидкість роз­по­всюдження збурення вздовж струни називається швидкістю хвилі с. Ця швидкість стосується збурення як цілого й залежить тільки від густини та натягу струни. Швидкість с слід відрізняти від швидкостей окремих точок струни u, яку вони набувають під час розповсюдження хвилі. Швидкості u залежать від початкового відхилення струни, змінюються з часом, а у поперечній хвилі перпендикулярні до напрямку струни, і, відповідно, до напрямку с.

Розглянемо два положення струни — початкове (лінія 1 на рис. 3.5) й наступне, (лінія 2 на рис. 3.5). За час t кожна точка хвилі зсунеться вздовж напрямку струни на однакову відстань x. Швидкість хвилі визначається як

,

(1)

Генератор збуджує в струні коливання з частотою . За довільного значення частоти картина коливань досить складна за рахунок додавання багаторазово відбитих хвиль. Проте, за деяких значень частоти в струні збуджуються так звані стоячі хвилі, які ми розглянемо докладніше.

Гармоничні коливання для біжучих хвиль мають вигляд

(2)

або

.

(3)

Хвиля (2) рухається в бік збільшення x, а хвиля (3) — в бік зменшення x. У наведених формулах y₁ та y₂ — зміщення точок струни із положення рівно­ваги, А та В — амплітуди,  — кругова частота хвилі, с — швидкість роз­по­всюдження хвилі. При додаванні хвиль (2) та (3) зміщення точок струни рухаються згідно з рівнянням

.

(4)

Запишемо (4) у вигляді

,

звідки після застосування формули для різниці синусів двох кутів, отри­мує­мо

.

(5)

Рис. 3.6

Якщо А=В, то у виразі (5) залишається перший доданок, що описує стоячу хвилю. Всі точки стоячої хвилі коливаються синфазно, а її амплітуда зале­жить від координати за синусоїдальним законом, тобто кожну мить струна має форму синусоїди (рис. 3.6).

В точках струни, де sin(x/c)=0, немає зміщень. Такі точки називають вузлами коливань. Очевидно, що коорди­нати вузлів задаються виразом

,

(6)

де n — будь-яке ціле число. (Зауважте, що за початок відліку x у наведених формулах обрано вузол стоячої хвилі). Якщо ввести довжину коливань за формулою

,

(7)

(f — частота коливань в герцах), то замість (6) маємо

.

(8)

Сусідні вузли коливань відстоять один від одного на половину дов­жини хвилі. В точках закріплення струни завжди розташовуються вузли стоячої хвилі. Таким чином, точки закріплення відстоять одна від одної на ціле число півхвиль, і стоячу хвилю можна збудити тільки на частотах, за яких на довжині струни вміщується ціле число півхвиль.

Коливання, за якого на довжині струни вміщується одна півхвиля, називають основним тоном. Всі інши стоячі хвилі називають обертонами.

Точки, в яких амплітуда стоячої хвилі найбільша, (тобто sin(x/c)=1) називають пучностями.

Другий доданок в (5) описує біжучу хвилю. Біжуча хвиля з’являється за нерівних амплітуд А та В, що призводить до коливального руху в вузлах стоячої хвилі. З урахуванням (7) формулу (5) можна переписати у вигляді

.

(9)

З рівняння (9) при A=B та мал. 3.6 видно, що всі точки між двома сусідніми вуз­лами коливаються синфазно, але з різними амплітудами. За переходу через вузол, амплітуда хвилі змінює знак (або фаза змінюється на ).

За відсутності другого доданку у формулах (5) або (9) вузли коливань не рухаються, тому через них не може переноситись енергія. У реальному експерименті завжди існують ті чи інші енергетичні втрати, які компен­суються зовнішнім збуджувачем коливань. Таким чином, у реальних умовах другий доданок в (5) та (9) ненульовий: під час коливань обов’язково існує як стояча хвиля, так і біжуча, що переносить енергію від збуджувача вздовж всієї струни.

Література

1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т.1. Механика. — М.: Наука, 1979, п.п. 81, 84.

2. Стрелков С. П. Механика. — М.: Наука, 1975, гл. XV, п.п. 137-143.

Поміркуйте:

1. Навіщо під час гри на гитарі або скрипці притискають струну до грифу?

2. Що відбувається, коли притискають струну в іншому місці?

3. Пригадайте, яким чином настроюють гітару. Що при цьому відбувається?

Мета: збудження та дослідження стоячої хвилі на гнучкій однорідній струні.

Устаткування:

Прилад для вивчення коливань струни, що включає: лаву із струною, звуковий генератор, магніт, динамометр.

Теоретичні основи експерименту

В роботі досліджуються коливання гнучкої однорідної струни, яку на­тягнуто між двома нерухомими точками. Схему експериментальної уста­нов­ки зображено на рис. 3.7. Для збудження коливань від генератора 8 через струну подається змінний струм. Магнітне поле сталого магниту 3 діє на електричний струм. Сила Лоренца відхиляє струну в той чи інший бік в залежності від напрямку струму і, таким чином, у струні збуджуються коливання із частотою зву­ко­вого генератора.

Рис. 3.7

На металевій лаві 1 розташовано кілки 2 і 4, магніт 3 та динамометр 5. Струну протянуто крізь кілок 4 та отвір у електромагніті 3. Один з кінців струни прикріплено до кілка 2, а інший — до динамометру 5, що за допомогою ручки 6 може змінювати натяг струни. Сила натягу подана на шкалі динамометра 7 у ньютонах.

Збуджені у струні хвилі відбиваються від кілків 2 та 4, додаються і, кінець кінцем, утворюють досить складну картину коливань. Але за умови, що на довжині струни вміщується ціле число півхвиль, падаючі та відбиті хвилі співпадають по фазі. Підсилюючи одна одну, вони утворюють стоячі хвилі. Рівняння стоячих хвиль згідно з (9) (при A=B) має вигляд:

.

(10)

Тут змінні: y — зміщення точок струни від положення рівноваги, x — коор­ди­ната вздовж струни, t — час; та сталі: А — амплітуда, — кругова час­то­та, — довжина хвилі.

Припустимо, що за деякого натя­гу струни та частоти генератора, в струні з’явилася стояча хвиля. З експе­рименту відомо, що будь-яка зміна натягу струни призводить до розмиття кар­тини коли­вань. Щоб за цих умов знову отримати стоячу хвилю з тим самим числом вузлів, треба змінити частоту генератора. Таким чином, дов­жи­на стоячих хвиль залежить від натя­гу струни. З’ясуємо цю залеж­ність.