Амплитуда максимальна, если

или

(13)

Итак, при L - x равном нулю или целому числу полуволн, амплитуда результирующей волны равна нулю, при L - x равном нечетному числу - амплитуда максимальна. Такая волна является стоячей волной. Точки с максимальной амплитудой смещения - пучности смещения , точки с амплитудой равной нулю - узлы смещения.

Стоячая волна, есть волна со стационарным распределением амплитуды по длине трубы. В случае плоской бегущей волны, разные слои колеблются с одинаковой амплитудой, но в различных фазах. В тоячей волне все слои в пределах между соседними узлами колеблются в одинаковой фазе, но с разными амплитудами. Чтобы изобразить распределение амплитуд смещений стоячей волны вдоль трубы, удобнее откладывать амплитуды смещений, соответствующие каждому слою, в перпендикулярном к трубе направлении (смещения происходят вдоль трубы).

Построенная таким образом картина для некоторого момента времени изображена на рис.4.

Рис.4

Таким образом, если интерферируют только две волны, то стоячая волна возникает при любых .

Дифференцируя уравнение (10) один и второй раз по времени, можно получить уравнения стоячих волн, колебательной скорости и колебательного ускорения, фазы которых будут отличаться от фазы волн смещений. Однако, такое дифференцирование не меняет синуса, характеризующего пространственное распределение амплитуд. Поэтому пучности и узлы смещений будут совпадать с пучностями и узлами колебательной скорости и колебательного ускорения.

Дифференцируя уравнение (10) по х и подставляя результат в уравнение для акустического давления

,

получим уравнение стоячей волны

(14)

Распределение амплитуд акустического давления по длине трубы теперь определяет косинус. Поэтому пучности давления будут совпадать с узлами смещений, а узлы давления - с пучностями смещений (рис.5).

Координаты лучностей давления: (L - x) = n. Координаты узлов давления: (L - x) = (2 n + 1).

Рис.5

Отметим, что в слое газа у отражателя возникает пучность давления, а значит и пучность силы, действующей на отражатель.

В стоячей волне рассмотренного типа перенос энергии волной 1 от излучателя (см. рис.2) компенсируется переносом энергии волной 2 от отражателя. Поэтому, в отличие от бегущей волны, перенос энергии стоячей волной вдоль трубы равен нулю. Происходит переход только кинетической энергии, которая максимальна, когда все слои одновременно проходят равновесные положения, в потенциальную и обратно. Последняя имеет наибольшее значение, когда слои достигают своих максимальных смещений от равновесных положений.

Напомним, что рассмотренный случай стоячих волн имеет место при учете только первой и второй волн.

Реальные стоячие волны возникают при наложении излучаемой волны и волн, отразившихся от отражателя и излучателя (см. рис.2). Введем дополнительно в рассмотрение волну 3. Коэффициент отражения примем равным единице, изменение фазы при отражении равным .

(15)

Если волна 3 будет синфазна волне 1 (отличие фаз равна 2n), то волна 4 окажется синфазной волне 2. Интерференция волн 3 и 4 приведет к точно такой же стоячей волне вдоль трубы, как и наложение волн 1 и 2. Это справедливо и для волн 5 и 6, 7 и 8 и т.д.

Найдем условие, при котором стоячие волны, образованные из волн 3 и 4, 5 и 6 и т.д. усилят стоячую волну, полученную при интерференции первой и второй волн.

или

(16)

Таким образом, если не предпринять специальных мер по устранению отражений от излучателя, то стоячие волны возникают при дискретных значениях L, а именно при L, кратных .

Частоты, соответствующие этим значениям L, носят название собственных (резонансных) частот колебаний воздушного столба

. (17)

Амплитуда в пучностях такой волны теоретически с течением времени стремится к бесконечности. Реально она всегда конечна. Это обусловлено переходом энергии волны в энергию хаотического теплового движения, а также излучением поверхностью трубы и поршнями звука в окружающее пространство.

Экспериментально в данной работе измеряются резонансные частоты, для которых на длине воздушного столба в трубе укладывается 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. полудлин волн звука.

; ;…….. .

Скорость звука находится по формуле:

. (18)

Для вычислений необходимо знать L и n. Длину резонансной трубы измеряют линейкой. Порядок резонанса n определяют, увеличивая плавно частоту от нуля и считая резонансы по максимумам сигнала на приемном преобразователе (отражателе).

В лабораторной установке излучателем звука является телефон, на который подается переменное электрическое напряжение от генератора. Отражатель, он же приемник звуковых волн, также телефон. Смещение мембраны телефона пропорционально силе (давлению). Поэтому телефон является датчиком акустического давления (а не смещения, колебательной скорости или колебательного ускорения).

При возникновении стоячей волны (резонанса) мембрана телефона-датчика (отражателя) оказывается в пучности давления и сигнал, полученный от него максисмален.

Блок-схема установки приведена на рис.6, где 1 - генератор переменного электрического напряжения ГЗ-1; 2 - излучатель звука; 3 - труба; 4 - отражатель (приемник звука); 5 - визуальный регистр сигнала на приемнике звука. Рис.6