Заняття 11, 12

Тема 6. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем (4 год.)

Питання для розгляду:

1. Назвіть і охарактеризуйте основні поняття, які пов’язані з нелінійними зв’язками в економічних системах.

2. Визначте поняття нелінійного програмування й сутність вирішення задач нелінійного програмування.

3. Охарактеризуйте графічний метод вирішення задач нелінійного програмування при формуванні нелінійних оптимізаційних моделей.

4. Охарактеризуйте метод Лагранжа вирішення задач нелінійного програмування при формуванні нелінійних оптимізаційних моделей.

Завдання 1. Знайти екстремуми функції L(x₁,x₂)=x₁+2x₂ при обмеженнях

, .

В

5

ирішення

Область допустимого вирішення – це частина кола з радіусом 5, яка розташована в I чверті. Знайдемо лінії рівня функції L: x₁+2x₂=C. Виразимо x₂=. Лініями рівня будуть паралельні прямі з кутовим коефіцієнтом, який дорівнює -. Мінімум функції досягається в точці (0;0), L_min=0, оскільки градієнт (1,2) спрямовано вверх вправо. Максимум досягається в точці дотику кривої х₂= та лінії рівня. Оскільки кутовий коефіцієнт дотику до графіку функції дорівнює -, знайдемо координати точки дотику, використовується геометричне значення похідної.

=-; ()=-;

=-; x₀=; x₂=2.

Тоді L=+2∙2=5.

Відповідь: Мінімум досягається в точці О(0;0), глобальний максимум, дорівнює 5, в точці А(;2) .

Завдання 2. Знайти екстремуми функції L=(x₁-6)²+(x₂-2)² при обмеженні

x₁+x₂≤8

3 x₁+x₂ ≤15

x₁+x₂ ≥1

.

Вирішення

Область допустимого вирішення – багатокутник ABCDE. Лінії рівня представляють собою окружність (x₁-6)²+(x₂-2)²=С з центром в точці О₁(6;2). Візмимо, наприклад, С=36, бачимо, що максимум досягає в точці А(0;4), яка лежить на окружності найбільшого радіусу, який пересікається з областю допустимого вирішення L(A)=(0-6)²+(4-2)²=40. Мінімум - в точці F, яка знаходиться на перетені прямої 3x₁+x₂ =15 і перпендикуляру до цієї прямої, виведеного із точки О₁. Оскільки кутовий коефіцієнт дорівнює -3, то кутовий коефіцієнт перпендикуляру дорівнює . Із рівняння прямої, яка проходить через точку О₁ з кутовим коефіцієнтом , отримаємо (x₂-2)= (x₁-6). Знайдемо координати точки Е

х₁-3х₂=0

3 x₁+x₂ =15.

Вирішивши систему, отримаємо Е(4.5; 1.5).

L (E) = (4.5-6)²+ (1.5-2)²=2.5.

Відповідь: Мінімум дорівнює 2.5 досягається в точці (4.5; 1.5), максимум дорівнює 40 в точці (0;4).

Завдання 3. Знайти екстремуми функції L=(x₁-1)²+(x₂-3)² при обмеженнях , .

Вирішення

Область допустимого вирішення є частина кола з центром на початку координат з радіусом 5, яка розташована в I чверті. Лінії рівня – це окружності з центром в точці О₁ і радіусі С, оскільки (x₁-1)²+(x₂-3)²=С. Точка О₁ – це розроблена лінія рівня, яка відповідає мінімальному значенню С=0. глобальний максимум досягається в точці А, яка знаходиться на веретену області допустимого вирішення з лінією рівня найбільшого радіусу. При цьому L(A)=(5-1)²+(0-3)²=25.

Відповідь: Мінімум, дорівнює 0, досягається в точці (1;3), максимум, дорівнює 25, - в точці А(5;0).

Завдання 4. Підприємець вирішив виділити на розширення своєї справи 150 тис. грн. Відомо, якщо на придбання нового устаткування затрачувати х тис. грн., а на зарплату прийнятих працівників у тис. грн., то приріст обсягу продукції складе Q=0.001x^0.6·y^0.4. Як необхідно розподілити виділені грошові ресурси, щоб приріст обсягу продукції був максимальним.

Вирішення

Цільова функція має вид 0.001x^0.6·y^0.4 →max при обмеженнях

x+y≤150,

.

Область допустимого вирішення – трикутник. Лінії рівня будуть мати вид 0.001x^0.6·y^0.4 =С. Виразивши у, отримуємо у=. Оскільки максимум досягається в точці дотику лінії рівня з областю допустимого вирішення, то умова дотику має вигляд =-1. Знайдемо похідну, отримаємо =-1. Виразивши х, отримаємо х=. у==.

Відповідь: Фактори х і у необхідно розподілити у відношенні 2:3.

Завдання 5. Загальні витрати виробництва задані функцією Т=0,5х²+0,6ху+0,4у²+ +700х+600у+2000, де х і у відповідно кількість товарів А і В. Загальна кількість виробленої продукції повинна дорівнювати 500 одиниць. Скільки одиниць товару А і В потрібно виробити, щоб витрати на їх виготовлення були мінімальними?

Вирішення

Складемо функцію Лагранжа

L(x, y, ) =0,5х²+0,6ху+0,4у²+ +700х+600у+2000+(х+у-500).

Дорівнюючи до нулю її часні похідні, отримаємо

х+0,6у+700+ =0,

0,6х+0,8у+600+ =0,

х+у-500=0.

Вирішивши систему знайдемо (0, 500, -1000).

Використаємо достатні умови для визначення знайденого значення

L(x₀,y₀)=1, L(x₀,y₀)=0.8, L(x₀,y₀)=0.6. Функція g= х+у-500. g=1, g=1.

=-(0·L·L+ g·L· g+ g·g·L- g·L·g-0·L·L- g· g·L)=0,6>0

Таким чином, в точці (0;500) функція L має умовний мінімум.

Відповідь: Вигідно виробляти тільки 500 одиниці товару В, а товар А не виробляти.

Завдання для самоконтролю:

1. Знайти оптимальний цілочисловий план задачі Z(X) = х₁ - Зх₂ + 5х₃ + 2х₄ –max за умови:

x₁+x₂+x₃ =15

2x₁+ 3x₃+x₄=8,

х_j, > 0, х_j — цілі числа, j = 1, 2, 3, 4.

2. Отримати цілочисловий оптимальний план задачі Z(X) x₁— 4х₂ — 2х₃ + Зх₄ —> max за умови

3x₁+x₂+8x₃+x₄=35

x₁+x₃+x₄≤6

x_j≥ 0, х_j — цілі числа, j = 1, 2, 3, 4.

3. Контейнер обсягом 5 м³ розташований на контейнеровоз вантажністю 12 т. Контейнер необхідно заповнити вантажем двох найменувань. Маса одиниці вантажу m_j (в тонах), обсяг одиниці вантажу V_j (в м³), вартості Cj (в умовних грошових одиницях) наведені в табл. 6.1.

Таблиця 6.1 - Маса одиниці вантажу m_j (в тонах), обсяг одиниці вантажу V_j (в м³), вартості Cj (в умовних грошових одиницях)

Вид вантажу у	mj	V,	Сj
1	3	1	10
2	1	2	12

Необхідно завантажити контейнер таким чином, щоб вартість ватажу, шо перевозиться була максимальною.

4. Знайти екстремуми функції L(x₁,x₂)=2x₁+x₂ при обмеженнях , .

5. Підприємець вирішив виділити на розширення своєї справи 50 тис. грн. Відомо, якщо на придбання нового устаткування затрачувати х тис. грн., а на зарплату прийнятих працівників у тис. грн., то приріст обсягу продукції складе Q=0.001x^0.4·y^0.2. Як необхідно розподілити виділені грошові ресурси, щоб приріст обсягу продукції був максимальним.

6. Загальні витрати виробництва задані функцією Т=0,8х²+0,7ху+0,6у²+800х+500у+1600, де х і у відповідно кількість товарів А і В. Загальна кількість виробленої продукції повинна дорівнювати 400 одиниць. Скільки одиниць товару А і В потрібно виробити, щоб витрати на їх виготовлення були мінімальними?

Література: 5, 7, 14, 23, 29, 49.