2.Взаимное расположение двух плоскостей

Пусть две плоскости даны своими общими уравнениями:

Исследуем взаимное расположение плоскостей .

1 случай. Плоскости параллельны, но не совпадают. В этом случае векторы должны быть коллинеарны, но плоскости должны быть различны.

2 случай. Плоскости совпадают. Векторы коллинеарны.

3 случай. Плоскости пересекаются ( по прямой ). В этом случае векторы должны быть неколлинеарны.

неверная пропорция.

Очевидно, что в случае 3 угол между плоскостями равен углу между нормалями:

Рассмотрим следующую задачу.

Пусть две плоскости даны своими общими уравнениями:

Необходимо выписать уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы, образованные при пересечении плоскостей . Обозначим искомые плоскости как

Обозначим через текущую точку пространства. Точка принадлежит одной из плоскостей тогда и только тогда, когда эта точка равноудалена от плоскостей :

Выбираем в последнем соотношении знаки «+» или «-» в обозначении «», получим уравнения плоскостей

Рассмотрим три плоскости , заданные своими общими уравнениями:.

Обсудим взаимное расположение плоскостей

Очевидно, возможны следующие случаи:

1) Плоскости параллельны (но не совпадают). В этом случае векторы нормалей должны быть коллинеарны:

2) Плоскости пересекаются по трем параллельным прямым. В этом случае векторы нормалей должны быть компланарны, но система уравнений, состоящая из общих уравнений плоскостей, должна быть несовместна:

,

3

) Две плоскости параллельны между собой, но пересекаются с третьей плоскостью:

Выпишите условия самостоятельно.

4) Три плоскости пересекаются вдоль прямой. В этом случае система, составленная из общих уравнений плоскостей, должна быть совместна, ранг матрицы системы должен быть равен 2. Отсюда получаем:

.

5) Плоскости пересекаются в одной точке. В этом случае система, составленная из общих уравнений плоскостей, должна обладать единственным решением:

3.Различные уравнения прямой в пространстве

Пусть некоторая фиксированная точка пространства, фиксированный вектор. Составим уравнение прямой L, проходящей через точку параллельно вектору (вектор называется направляющим вектором прямой L ).

M

Обозначим через текущую точку пространства. Очевидно, что точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны (см.рисунок):

L

L

L

Канонические уравнения прямой

(1)

Уравнения (1) называются каноническими уравнениями прямой.

Замечание.

Канонические уравнения (1) понимаются как пропорции один или два из знаменателей могу быть равны нулю.

Пример.

Запишем уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси .

Имеем: Отсюда канонические уравнения искомой прямой имеют вид

.

Перейдем к выводу параметрических уравнений прямой.

Пусть некоторая прямая задана своими каноническими уравнениями:

Приравниваем дробь величине ( некоторый параметр,

Параметрические уравнения прямой,

(2)

Параметрические уравнения (2) удобно использовать при решении различных задач, например, для нахождения точки пересечения прямой и плоскости.

Пример.

Найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью :

Запишем параметрические уравнения прямой :

P

L

A

Подставим правые части этих уравнений в уравнение плоскости , получим:

Отсюда точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты

Перейдем к составлению уравнения прямой, проходящей через две точки и :

L

В качестве направляющего вектора берём вектор Обозначим через текущую точку пространства. Точка M принадлежит искомой прямой тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

Тогда канонические уравнения прямой, проходящей через точки имеют вид:

Уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки плоскости

(3)

Пример.

Запишем уравнения прямой, проходящей через точки и

Рассмотрим две непараллельные плоскости , определенные своими общими уравнениями ( см. рисунок):

Непараллельные плоскости пересекаются вдоль прямой. Запишем уравнения плоскостей в систему:

Общие уравнения прямой

(4)

L

Уравнения (4) называются общими уравнениями прямой в пространстве.

Пусть известны общие уравнения прямой L (4). Как получить канонические уравнения этой прямой?

Сначала найдём координаты точки, лежащей на прямой L. Для этого подставим в систему (4), например, , найдём . Может случиться, что система (4) при не имеет решений, тогда подставим или , найдем недостающие координаты. Можно доказать, что обязательно хотя бы один из вариантов , , позволит найти недостающие координаты точки, принадлежащей обеим плоскостям. Фиксируем точку , .

Найдём направляющий вектор прямой L. Этот вектор перпендикулярен векторам , следовательно, в качестве вектора можем взять векторное произведение векторов :

Далее записываем канонические уравнения прямой L: .

Пример. Прямая L задана общими уравнениями

Выведем канонические уравнения прямой L.

Пусть Тогда решаем систему

найдем Получили:

Найдем направляющий вектор:

Окончательный ответ: