- •Глава 2. Статика
- •Глава 3. Кинематика точки
- •2.1 Скорость и ускорение в декартовой системе координат.
- •2.2 Скорость и ускорение в цилиндрической системе координат
- •2.3. Скорость и ускорение при траекторном (естественном) способе описания движения.
- •Глава 4. Кинематика твердого тела
- •4.2.Произвольное движение твердого тела
- •4.2.1 Описание ориентации тела. Направляющие косинусы.
- •4.2.2. Описание ориентации с помощью углов Эйлера, самолетных (корабельных) углов.
- •Глава 5. Фундаментальные законы механики.
- •Глава 6. Третий фундаментальный закон механики (закон баланса энергии).
- •Глава 7. Механика Лагранжа
4.2.Произвольное движение твердого тела
4.2.1 Описание ориентации тела. Направляющие косинусы.
Как уже говорилось в параграфе (4.1.1), положение твердого тела можно описать вектором
положения какой-либо точки А, называемой полюсом, и ориентацией, которую удобно
описывать с помощью жестко связанной с телом тройки векторов. Для простоты возьмем
ортонормированную тройку векторов, которые в отсчетном положении обозначаются
, а в актуальном в момент времени . В качестве отсчетного
положения чаще всего удобно взять положение в момент времени , тогда ,
но иногда в качестве отсчетного удобнее взять положение, которое тело никогда не занимало
в прошлом и, возможно, никогда не займет в будущем. Так, например, можно принять, что
- орты декартовой системы координат в используемой системе отсчета.
z
B
А y А
x
Разложим векторы по базису :
(k= 1,2,3) (4.7)
Скалярные произведения , равные косинусам углов между , называются
направляющими косинусами .
Принимая правило суммирования по повторяющимся индексам, вместо трех строчек (4.7),
в каждой из которых три слагаемых, можем написать короткую формулу
. (4.8)
При этом принимается соглашение, что по индексам, присутствующим в обеих частях
равенства (в данном случае это индекс ) суммирование не производится, а равенство
повторяется «k» раз.
Имеется 9 направляющих косинусов, но только 3 из них являются независимыми, поскольку
между ними есть 6 уравнений связей
, где, напомним, называется символом Кронекера, или
(4.9)
В (4.9) символ «отфильтровал» в двойной сумме по индексам s и m только те
слагаемые, у которых s = m.
Знание направляющих косинусов полностью решает задачу описания движения, но выбрать три независимых и аналитически выразить через них остальные шесть невозможно, так как
система уравнений (4.9) нелинейная, поэтому в качестве трех параметров, задающих
ориентацию тела, обычно используются углы.