- •Часть 1
- •Гл. 1. Алгебра матриц
- •Матрицы. Терминология
- •1.2 Принцип равенства
- •1.3 Транспонированная матрица
- •1.4 Сложение матриц
- •1.5 Умножение матрицы на число
- •1.6 Скалярное умножение арифметических векторов
- •1.7 Умножение матриц
- •1.8 Теория делимости квадратных матриц
- •1.9. Основные типы алгебраических структур.
- •1.10 Элементарные преобразования над матрицами и элементарные
- •1.11 Эквивалентные матрицы
- •1.12 Отношение эквивалентности.
- •1.13 Разложение матрицы в произведение простейших
- •1.14 Матричные уравнения
- •Упражнения
- •Историческая справка
- •Литература Основная литература.
- •Задачники и дополнительные методические материалы.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет математики, механики и компьютерных наук
В.Б. Дыбин
Алгебра
Лекции и практика
Методическое пособие первокурснику
Часть 1
Модуль 1
Алгебра матриц
2008 г.
Введение
Курс «Алгебры» занимает одно из важнейших мест в системе образования не только для всех математических специальностей, но и для всех специальностей, которые используют математические методы. Например, у экономистов на этом курсе основаны такие дисциплины как линейное программирование и теория игр.
Первая часть содержит 12 лекций по алгебре, охватывающих три модуля: «Алгебру матриц», «Системы линейных алгебраических уравнений» и «Определители». Материал этих лекций составляет основную часть курсов первого семестра: «Алгебры» на отделении «математика» и Линейной алгебры» на отделении «математические методы и исследование операций». Поэтому содержание лекций и форма подачи материала играют определяющую роль в процессе адаптации вчерашних школьников к университетской системе обучения.
Главной особенностью настоящего пособия является включение в него наряду с теоретическим материалом большого количества упражнений по каждой теме вместе с разбором основных алгоритмов. Одновременно с целью «наведения мостов» между данным курсом и другими математическими разделами, ожидающими первокурсников, в текст «Лекций» включен дополнительный материал по теории множеств и отображений, а также дано описание основных алгебраических структур. Эти разделы, как правило, отмечены звездочкой.
Многолетние преподавание алгебры на механико-математическом и экономическом факультетах Ростовского университета убеждает автора в необходимости особого внимания к работе со студентами в первом семестре. Этим объясняется включение в текст пособия ряда нестандартных фрагментов: исторических справок, опытов обсуждения сложности вычислений и контроля за вычислениями, указаний приложения основных результатов и понятий.
Ниже символами ◄ и ► обозначается соответственно начало и конец доказательства, символом - предложение читателю самостоятельно провести доказательство отмеченного утверждения, а символом -наличие противоречия в рассуждениях. Впрочем, в тексте «Лекций» читатель будет встречать и другие символы, облегчающие процесс изложения материала. Например, символ заменит слова «влечет» и «следовательно», а символ употребляется вместо выражений «тогда и только тогда» или «равносильно». Разъяснения по поводу других значков будут даваться по ходу текста.
Настоящее пособия является переработкой трех тетрадей «Лекций по линейной алгебре» [], написанных автором, и трех тетрадей методических указаний, подготовленных в 1994-97 годах совместно с В.М. Семигуком [], которому автор выражает свою признательность за сотрудничество.
Гл. 1. Алгебра матриц
В этой главе, прежде всего, строится матричное исчисление. На множестве матриц, определяемых как таблицы вещественных чисел, вводятся операции (сложения, умножения, умножения на число, транспонирования и обращения) и изучаются свойства этих операций. Выясняется, что наряду со свойствами операций, наследуемыми матрицами у вещественных чисел, у них появляются и новые свойства, которыми вещественные числа не обладают. Например, умножение матриц оказывается некоммутативным.
После этого обсуждается проблема разложения матрицы на простейшие. Оказывается, что любую матрицу единственным образом можно представить в виде суммы матриц, каждая из которых обладает только одним ненулевым элементом. Представление матрицы в виде произведения простейших является более сложным и нуждается в построении специального аппарата элементарных матриц, оправдывающего себя в последующих разделах курса.
В последней части первой главы изучаются простейшие матричные уравнения.
Лекция I.
План
-
Матрицы. Терминология
-
Принцип равенства
-
Транспонирование матриц
-
Сложение матриц
-
Умножение матрицы на число