2.7. Прямая в пространстве

• Общие уравнения прямой. Любую прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух не параллельных плоскостей, т.е. (совместной) системой двух линейных уравнений

. .(1)

Например, система уравнений задает прямую в пространстве, так как коэффициенты этих уравнений не пропорциональны и, следовательно, плоскости не параллельны, т.е. пересекаются по прямой.

• Канонические уравнения прямой. Положение прямой в пространстве можно задать с помощью точки , через которую проходит прямая, и направляющего вектора , параллельного прямой. Тогда рассматриваемая прямая определяется уравнениями

, (2)

которые называют каноническими уравнениями прямой.

Пример 1. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₀(1, -2, 0) и параллельной вектору .

Ответ: .

Замечание. В случае, когда какая-нибудь из координат направляющего вектора равна нулю, принято писать равенства (2) с нулем (или с двумя нулями) в знаменателе; такая запись становится символической, но ею пользуются ввиду ее наглядности. Например, запись означает, что прямая проходит через точку М₀(2, 0, -3) и параллельна вектору (т.е. параллельна оси Oy).

От записи (1) можно перейти к записи (2), находя из системы (1) какую-нибудь точку рассматриваемой прямой и беря в качестве направляющего вектора векторное произведение нормальных векторов двух непараллельных плоскостей: . Этот вектор перпендикулярен и , т.е. параллелен линии пересечения данных плоскостей, является направляющим для заданной прямой.

Пример 2. Прямая задана уравнениями . Получить канонические уравнения этой прямой.

Решение. Так как коэффициенты данных уравнений не пропорциональны, плоскости не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой. Найдем какую-нибудь точку, лежащую на прямой. Например, полагая , из системы находим , . Получаем точку (3, 1, 0). Теперь найдем направляющий вектор

.

Ответ: канонические уравнения прямой .

• Уравнения прямой, проходящей через две данные точки и . Беря в качестве точки, через которую проходит прямая, точку , а в качестве направляющего вектора вектор , запишем канонические уравнения прямой:

.

Пример 3. Записать канонические уравнения прямой, проходящей через точки и .

Ответ: .

Замечание. Полученные уравнения показывают, что прямая перпендикулярна оси Oz (так как проекция направляющего вектора на ось Oz равна нулю). Кроме того, видно, что прямую можно представить как линию пересечения двух плоскостей: плоскости (или ), которая параллельна оси Oz, и плоскости (или , т.е. ), параллельной осям Ox и Oy.

• Параметрические уравнения прямой. Если приравнять каждую из дробей в равенствах (2) параметру t, получим следующие параметрические уравнения прямой:

.

Когда действительная переменная t (параметр) пробегает интервал , текущая точка пробегает всю прямую. Например, для прямой из Примера 3 будем иметь , , , откуда получаем параметрические уравнения .

• Угол между двумя прямыми в пространстве. Очевидно, этот угол равен углу между направляющими векторами и данных прямых. Поэтому его можно найти из формулы

.

Ясно, что необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых имеет вид или , а условие параллельности –

.

Пример 4. Найти угол между прямыми и .

Решение. Здесь , , поэтому

.

Отсюда ; второй из углов, образованных прямыми, равен .

Пример 5. Одна прямая задана каноническими уравнениями , а другая – параметрическими уравнениями . Убедиться, что эти прямые параллельны.

Решение. Направляющий вектор первой прямой , а второй . Координаты этих векторов пропорциональны: , поэтому прямые параллельны.

Пример 6. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М₀(-1, 2, 0) и перпендикулярной прямым и .

Решение. Так как направляющий вектор прямой должен быть перпендикулярен обеим прямым, в качестве можно взять векторное произведение направляющих векторов данных прямых:

.

Ответ: параметрические уравнения прямой имеют вид .