5. Временные ряды

Временной ряд – это числовая последовательность, характеризующая изменение явления во времени. Другими словами, временной ряд, ряд динамики, хронологический ряд, динамический ряд – это упорядоченная по времени последовательность числовых значений: y₁, y₂,…, y_n. Временной ряд включает последовательность значений времени t₁, t₂,…, t_n и последовательность измерений значений переменной в эти моменты времени: y₁, y₂,…, y_n. Значение y_i называют i-тым уровнем временного ряда. Таким образом, уровень временного ряда – это отдельное наблюдение временного ряда.

Многие явления в окружающем нас мире можно интерпретировать как временные ряды: изменение курса доллара, изменение цен и спроса на продукцию или сырьё, изменение уровня воды в реке и т.д.

Рекомендуемая литература: /3, 5, 6/.

5.1. Определения

Выделяют интервальные и моментные временные ряды. Интервальные временные ряды – это такие временные ряды, в которых каждый уровень характеризует величину изучаемого явления за соответствующий интервал времени. Например, объем выпущенной продукции по месяцам года, объем продаж по дням и т.д. В моментных временных рядах каждый уровень временного ряда отражает величину изучаемого явления на определенный момент времени. Например, численность населения на 01 января 2000 года, запас продовольствия на такое-то число и т.д. Отличие моментных рядов от интервальных заключается в том, что сумма уровней интервального ряда является некоторым реальным показателем – общий выпуск продукции за год, объем продаж за месяц, год и т.д. Сумма уровней моментного ряда реального содержания, как правило, не имеет /5/.

Пример. Временной ряд, составленный из значений курса доллара в определенные дни – это моментный временной ряд.

Часто рассматриваются временные ряды, в которых измерения производятся через равные моменты времени.

Для характеристики временных рядов вводятся следующие показатели: абсолютный прирост, коэффициент роста, темпы роста, коэффициент прироста, темп прироста. Когда i-тый уровень временного ряда y_i сравнивается с начальным уровнем ряда y₁, получаем базисные показатели. Если же y_i сравнивается с y_i-1 (текущий уровень сравнивается с предыдущим), то получаем цепные показатели.

Абсолютный прирост _i

(базисный), (цепной).

Коэффициент роста К_i(р)

(базисный), (цепной).

Темп роста Т_i(р)

(базисный), (цепной).

Коэффициент прироста К_i(пр)

, .

(базисный), (цепной).

Темп прироста Т_i(пр)

(базисный), (цепной).

5.2. Постановка задач сглаживания и прогноза

Всякий временной ряд теоретически может быть представлен в виде суммы составляющих y_i = f(t_i) + _i + _i, где f(t) – некоторая функция, называемая трендом, _i - циклические (периодические) колебания, в том числе сезонные, _i – случайные отклонения. Сезонные колебания – это возрастание или убывание уровней ряда, повторяющиеся регулярно с определенным интервалом (например, потребление топлива и электроэнергии, сезонная продажа товаров и т.д.). В дальнейшем мы не будем рассматривать влияние сезонных колебаний, т.е. будем полагать, что y_i = f(t_i) + _i. Полагаем, что _i – независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием (M_i = 0) и дисперсией D_i = _i² = _i.

Одной из важных задач анализа временных рядов является выделение тренда, т.е. построение функции g(t), которая достаточно близка к f(t). Эту задачу называют задачей сглаживания.

Задача сглаживания. Задача сглаживания заключается в построении функции g(t), которая приближает неизвестный нам тренд f(t) на основании имеющегося у нас временного ряда (t_i, y_i), 1  i  n.

Задача прогноза. По имеющимся значениям уровней временного ряда (t_i, y_i), 1  i  n предсказать значения временного ряда (t_n+1, y_n+1), (t_n+2, y_n+2),…, (t_n+p, y_n+p).

Отметим, что при решении задачи прогноза сначала, как правило, решается задача сглаживания, а затем, используя тренд, строится прогноз. Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса /5/.