Введение в программирование и ЭВМ

	ИТМО, ФИТИП, КТ Скаков Павел Сергеевич

[Введение в программирование и ЭВМ]

Сборник лекций, читаемых автором Скаковым Павлом Сергеевичем на кафедре КТ, НИУ ИТМО. Составил по памяти и немного дополнил – Лукьянов Алексей, студент группы 1537 КТ в 1семестре 2011.

Лекция 1. Системы счисления и внутреннее представление чисел

От 01.09.2011

Системы счисления

Шестнадцатеричная система счисления полезна при представлении двоичных чисел. Обозначается 0x1AFили 1AFh, где 1AF – шестнадцатеричное число.

Конечная или периодическая дробь при переводе в другую систему счисления всегда также переводится в конечную или периодическую дробь.

Октет – блок из 8 бит. Дело в том, что байт не на всех архитектурах равен 8 битам.

Внутреннее представление целых чисел

Способы представления двоичных чисел со знаком, основные способы:

1. С использованием 1 бита под знак

Первый бит – знак числа, причем 0 соответствует положительному числу, 1 – отрицательному. Т.о. положительное число не меняет традиционного представления. Остальные же биты всегда представляют положительное число, вне зависимости от знака.

Минусы:

1. Два нуля – положительный и отрицательный – усложняют работу с такими числами

2. По-разному реализуются сложение и вычитание

3. На значение меньше, чем в двух других способах

4. При изменении разрядности числа () требуется пересчет числа

2. С использованием смещения

Суть в том, что для получения внутреннего представления числа требуется прибавить к числу некоторое смещение – другое число, константа, обычно половина () от максимального значения. И наоборот, если вычесть из внутреннего представления смещение, то получается итоговое число-значение. Т.о. если октет содержит значение 200 а смещение данной архитектуры равно 127, то число, содержащееся в этом октете – это 73. Если содержит 0, то и т.д.

Минусы:

1. После каждой операции над числами нужна коррекция, что тормозит работу

2. При изменении разрядности числа () требуется пересчет числа

2. С использованием двоично-дополнительного кода

Прочие способы (представляют только академический интерес, т.к. слишком неэффективны):

4. С отрицательным показателем

Т.е. значение битов не 128, 64, 32, …, 2, 1, а -128, 64, -32, …, -2, 1. Такой способ позволяет представить все числа в определенном диапазоне, не образуя «дыр».

Минусы:

1. Неравномерное распределение положительных и отрицательных чисел

4. Симметричная

Может быть реализована только для систем счисления с нечетным основанием. Использовалась в одной из советских разработок в троичной системе счисления.

Отличительная особенность в том, что каждый разряд кроме нуля заключает в себе знак. Т.о. разряд может принимать значение 0, 1..nи (-1)..(-n), где n– предельное значение разряда.Причем отрицательные значения записываются в виде букв латинского алфавита, начиная с его конца (z, y, x, …).

Важное замечание: при переносе значения в старший разряд, данный разряд принимает не значение 0, как обычно, а меньшее значение, которое он только способен принять.

Пример: троичная симметричная система. Значение каждого разряда может быть следующим: 1, 0, z, где . Показатели разрядов в этом случае будут: 27, 9, 3, 1.

Разряды могут принимать значение:

3: (-27,0,27)

2: (-9,0,9)

1: (-3,0,3)

0: (-1,0,1)

Представление чисел:

-2 = z1

-1 = z

0 = 0

1 = 1

2 = 1z

3 = 10

4 = 11

5 = 1zz

6 = 1z0

7 = 1z1

Примеры отраслевого применения:

6. Кодирование двоичных потоков

0: 0

1: -1

10:3

11:-9

…

Внутреннее представление вещественных чисел

1. С фиксированной точкой

Например, число 5.1 равно:

0	0	0	0	0	1	0	1	0	0	0	1	1	0	1	0

Последний разряд установлен в 0, а предпоследний в 1 из-за округления.

Плюсы: работа с вещественными числами как с целыми – одно железо, просто и быстро

Минусы: фиксированная точность

2. С плавающей точкой

Вся вещественная арифметика с плавающей точкой интересна тем, что, во-первых, точности от нее ждать не приходится, а во-вторых, тем, что разными платформами стандарт поддерживается весьма избирательно. В одном аспекте может поддерживаться, а в другом – нет. Такая вот занимательная арифметика.

В этом представлении число разбивается на знак, мантиссу и экспоненту. Знак неизменно занимает один старший бит, размер остальных частей зависит от формата.

Существуют следующие форматы (стандарт IEEE754):

Название	Знак	Мантисса	Экспонента	Всего бит		Первый бит
Half	1	10	5	16		Нет
Single	1	23	8	32		Нет
Double	1	52	11	64		Нет
Quad	Все вместе 128 бит, редко используется				128		Нет
Extended	1	64	15	80		да

Существует оригинальный формат extended, в котором сопроцессор выполняет все вычисления и все остальные форматы, используемые только для сжатия данных.

При переводе числа в двоичную систему счисления первый бит всегда будет равен единице, поэтому во всех форматах, предназначенных для сжатия данных, этот бит отсутствует, но подразумевается. Формат extended – полное представление числа, поэтому в нем первый бит стоит на своем месте, он необходим для вычислений.

Не все архитектуры поддерживают стандарт полностью. Например, видеокарты упрощают вычисления, снижая их точность для повышения быстродействия.