- •Числовые последовательности
- •Способы задания последовательностей
- •Свойства числовой последовательности
- •Рекуррентной формулой вида
- •Аналитической формулой вида
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •Предел функции
- •Обозначение
- •Вычисление предела функции при приближении к точке
- •Пределы некоторых функций при приближении к точке:
- •С Лурки про предел
- •Приращение аргумента. Приращение функции
- •Экстремумы
- •Касательная к графику функции
- •Свойства касательной к графику функции Монотонность
- •Экстремумы
Числовые последовательности
Числоваяпоследовательность – это функция натурального аргумента, т.е. , где . Т.о. каждому натуральному числу 1,2,3,4,… соответствует определенное значение функции. Обозначается .
Способы задания последовательностей
-
Устно, перечислением первых нескольких элементов
-
Аналитически – формулой n-го члена
-
Рекуррентно – формулой, позволяющей вычислить n-й член последовательности, по известным предыдущимэлементам последовательности.
Свойства числовой последовательности
Т.к. числовая последовательность – это частный случай функции, она обладает некоторыми свойствами функций.
-
Ограниченность
-
ЧПограниченасверху – или
-
ЧП ограниченаснизу – или
-
ЧП ограничена – ЧПограничена и снизу и сверху
-
-
Монотонность
-
Монотонная ЧП – ЧП возрастающая или убывающая
-
Возрастающая ЧП – Еслидля любых выполняется
-
Убывающая ЧП – Еслидля любых выполняется
-
Частные случаи числовых прогрессий
Арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия – это разновидность числовой последовательности, заданная:
-
Рекуррентной формулой вида
-
Аналитической формулой вида
Сумма первых членов арифметической прогрессии:
Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия – это разновидность числовой последовательности, заданная:
-
Рекуррентной формулой вида
-
Аналитической формулой вида
Сумма первых членов геометрической прогрессии:, где
Геометрическая прогрессия при
;
Сумма бесконечной геометрической прогрессии при равна:
Пример:
Ответ:
Предел числовой последовательности
Пусть – точка на прямой, а – положительное число. Тогда интервал называют окрестностью точки, а число – радиусом окрестности.
|
|
Число называют пределом последовательности , если в любой заранее выбранной окрестности этой точки содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. При этомвыполняется приближенное равенство и чем больше , тем ближе значение к числу , хотя самого числа bоно никогда не достигает. Обозначение:
Если последовательность не имеет предела, то она расходится. Графически, прямаяявляетсягоризонтальной асимптотойграфика функции .
|
Свойства сходящихся последовательностей
-
Если последовательность сходится, то только к одному пределу.
-
Если последовательность сходится, то она ограниченна.
-
Если последовательность монотонна и ограниченна, то она сходится.
Предел функции
Смысл предела функции тот же (при , ), что и для предела последовательности, но аргумент функции, в отличие от аргумента последовательности, может принимать отрицательные значения, что позволяет функции сходиться к двум пределам.
Обозначение
Если прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при, тоэто обозначается . |
|
Если прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при, тоэто обозначается . |
|
Если прямая является горизонтальной асимптотой графика функции как при, таки при , тоэто обозначается или . |
Правилавычисления пределов функций
Пределы некоторых видов функций
Приемы вычисления пределов функций
Для решения выражений вида , где и – многочлены применяют прием: делят и числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую степень переменной из имеющихся.
Пример:
Предел функции при приближении к точке
Предел функциипри приближении к точке на монотонном участке равен тому числу, которое должна принимать функция в точке для поддержания монотонности в этой точке. Т.е. для поддержания монотонности приращения и соответствующего .
Данное значение не имеет ни какого отношения к тому, как функция ведет себя в точке на самом деле.
Приближенное значение при приближении к пределу
Из определения (т.к. данный участок монотонен) следует, что если , то в достаточно малой окрестности точки выполняется приближенное равенство и чемближек, тем ближе значениек числу . При этом сама точка aисключается из рассмотрения.
Непрерывность функции в точке
Функция непрерывна в точке a, если в данной точке она определена, монотонна и ее значение совпадает с ожидаемым значением, вычисленным на основе монотонности, т.е. . На графике это отражается в отсутствии «проколов» в функции и ее плавном изменении без «скачков».
Пример: На рисунке предел функции в точке a равен b, т.к. именно это значение должна принимать функция для поддержания монотонности участка.На самом же деле функция принимает в этой точке иное значение и потому в этой точке она не монотонна.
А т.к. в этой точке она не монотонна, хотя и определена, то функция имеет «прокол» в точке и потому не является непрерывной в этой точке. |
Более полный пример:
Рисункам соответствуют три варианта поведения функции в точке a:
-
Первая функция не принимает значения в точке и потому не является непрерывной в этой точке. На графике это отражено в том, что функция имеет «прокол» в точке a.
-
Вторая функция принимает значение bв точке , но оно не совпадает со значением, из чего следует, что в этой точке функция не монотонна. Следовательно, она не является непрерывной в точке a. На графике это отражено в том, что функция имеет «скачок» в точке a.
-
Третья функция принимает значение bв точке , ионо совпадает со значением . Значит, функция непрерывна в точке a.
Функция непрерывна на промежутке, если она непрерывна в каждой точке промежутка.