Критерии устойчивости
Если корни характеристического уравнения известны, то вопрос об устойчивости системы автоматического регулирования можно считать решенным. Однако, если характеристическое уравнение выше третьего порядка, то решить его аналитически не всегда представляется возможным. В этом случае устойчивость системы исследуют с помощью критериев устойчивости. Критерий устойчивости - это правило, позволяющее определить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения. Рассматриваются коэффициенты характеристического уравнения и некоторые их соотношения.
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частотные. К алгебраическим относятся критерии Гурвица, к частотным критериям - критерии Михайлова, Найквиста. Рассмотрим некоторые из них.
Критерий Гурвица
Критерий Гурвица представляет собой набор неравенств, составленных из коэффициентов характеристического уравнения, при выполнении которых система устойчива. Критерий формулируется следующим образом: для устойчивости САР необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительны и определители Гурвица, составленные из этих коэффициентов, также были больше нуля.
Для составления этих неравенств сначала составляет главный определитель Гурвица.
Первый определитель Гурвица совпадает с коэффициентом аn-1 , то есть Δ1=аn-1 каждый последующий имеет на одну строку и один столбец больше.
;
Пример. Пусть некоторая система автоматического регулирования описывается дифференциальным уравнением, связывающим входную величину U1 и выходную величину P , которое имеет следующий вид:
.
Используя критерий Гурвица, определим, будет ли такая система устойчивой. Во-первых, убедимся, что все коэффициенты уравнения больше нуля а3=2, а2=25, а1=3, а0=10. Составим определители Гурвица
;
;
Подставляя значения коэффициентов, определим все ли определители більше нуля
;
;
Следовательно, система устойчива.
Критерий Найквиста
Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы. Критерий Найквиста наиболее удобно использовать для одноконтурных систем высокого порядка, особенно если есть возможность воспользоваться экспериментальной амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы.
Согласно критерию Найквиста замкнутая система автоматического регулирования устойчива, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы при изменении частоты 𝛚 от 0 до ∞ не охватывает точку с координатами (-1, j0).
Таким образом, анализ системы на устойчивость сводится к определению комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы W(j𝜔)=U(𝜔)+ jV(𝜔) и построения его на комплексной плоскости при изменении частоты в пределах от о<𝜔<∞. Обычно комплексный коэффициент передачи находят из передаточной функции разомкнутой системы W(р), путем замены р= j𝜔.
Понятие о запасе устойчивости.
Под запасом устойчивости понимается область изменения какого-либо параметра САР (например, скорости, высоты, угла атаки, коэффициента передачи) при которой системы сохраняют устойчивость. Обычно говорят о запасе устойчивости по высоте, скорости, коэффициенту передачи САР и т.п.
Запас устойчивости можно определить, зная корни характеристического уравнения, используя критерии устойчивости или путем построения логарифмических частотных характеристик.
Рис. 3.2 Расположение корней на комплексной плоскости
Если известны корни характеристического уравнения, то их можно изобразить на комплексной плоскости (рис. 3.2). Поскольку для устойчивой системы все корни должны быть отрицательными, то они находятся все слева от мнимой оси.
А ближайший к мнимой оси корень определяет запас устойчивости λ. Колебательность процесса можно приближенно характеризовать углом ψ, который образуется лучами, соединяющими начало координат с ближайшими к мнимой оси комплексными корнями.
По критерию Гурвица, запас устойчивости определяется из неравенств Гурвица. Например, если одно из неравенств имеет вид
,
где Т1, Т2, к - некоторые параметры, то запас устойчивости по параметру к можно определить из этого неравенства путем нахождения граничного значения к, при котором неравенство перестает выполняться.
Лекция 4