Уравнение прямой, проходящей через две точки

Составим уравнение прямой, проходящей через две данные точки и .

В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор . Подставим координаты точки и координаты направляющего вектора в каноническое уравнение прямой, получим:

Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая пересекает ось Ох в точке , а ось Оу - в точке .

Подставим координаты этих точек в уравнение прямой, проходящей через две точки, После преобразований получим:

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, так как числа a и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Опр: Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла между прямой и положительным направлением оси ОХ. Обозначается угловой коэффициент: k=tg , где - угол между прямой и положительным направлением оси ОХ.

b- отрезок, который прямая отсекает на оси ОУ

уравнение— уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и, следовательно, уравнение этой прямой будет иметь вид у = кх.

Если прямая параллельна оси Ох, то = 0, следовательно, k= tg= 0 и уравнение примет вид у = b.

Если прямая параллельна оси Оу, то уравнение имеет вид: х = а

где а — абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох.

Прямая, проходящая через точку, в данном направлении

Пусть прямая проходит через точку и ее направление характеризуется конкретным угловым коэффициентом к. Уравнение этой прямой можно записать в виде:

Уравнение с различными значениями к называют также уравнениями пучка прямых с центром в точке .В этом пучке нельзя определить лишь прямую, параллельную ори Оу.

Угол между прямыми

При пересечении двух прямых образуются четыре угла:, тангенс и косинус которых отличаются знаком. Приведены формулы для вычисления острого угла между прямыми.

Если две прямые заданы своими общими уравнениеми:

, нормаль к прямой :

, нормаль к прямой :

Угол между прямыми есть угол между нормалями к прямым

Условие перпендикулярности:

Условие параллельности:

Если две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

,

то вычисляется тангенс угла между прямыми:

Точка пересечения прямых

Пусть две прямые заданы своими общими уравнениями:

,

Чтобы найти общую точку, необходимо решить систему двух уравнений с двумя переменными., если система несовместна, то прямые параллельны.

Расстояние от точки до прямой

Пусть заданы координаты точки и уравнение прямой : Ах+Ву+С=0

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую: