- •Теория функций комплексного переменного.
- •Предел, непрерывность.
- •Производная и дифференциал.
- •Связь аналитических и гармонических функций.
- •Геометрический смысл производной.
- •Интегралы от функций комплексного переменного.
- •Теорема Коши.
- •Формула Коши.
- •Степенные ряды.
- •Ряд Лорана.
- •Особые точки.
- •Вычеты функции.
- •Вычет функции в конечном полюсе.
- •Теорема Коши о вычетах.
Геометрический смысл производной.
Пусть функция f(z) – аналитическая в области (D). Рассмотрим на плоскости (Z) кривую (l) и на ней точку z0. Она отобразится на плоскости (W) в кривую (L) и точку W0 = f(z0 ). Пусть f′(z0) ≠ 0. Пусть далее z = z0 + ∆z, w = w0 + ∆w.
Тогда
Следовательно, |f′(z0)| - коэффициент растяжения в точке z0 при отображении w = f(z).
В силу аналитичности функции f(z) пределы (1) и (2) не зависят от способа приближения точки z к точке z0, т.е. от выбора кривой (l). Это означает, что предел (2) один и тот же во всех направлениях выходящих из z0.
arg f′(z0) =.
Отсюда, ψ = arg f′(z0) + φ.
Таким образом, arg f′(z0) – угол, на который надо повернуть касательную к кривой (l) в точке z0, чтобы получить направление касательной к кривой (L) в точке w0. В силу аналитичности функции w = f(z) величина arg f(z0) одна и та же для всех кривых (l), проходящих через точку z = z0.
Следовательно, при отображении с помощью аналитической функции углы между кривыми в точке z0 сохраняются.
Отображения, обладающие в данной точке свойством консервативности углов и свойством постоянства растяжения, называются конформными отображениями в этой точке.
Аналитическое отображение является конформным, если f′(z) ≠ 0.
Интегралы от функций комплексного переменного.
Рассмотрим непрерывную функцию комплексного переменного
W = f(z) = u(x,y) + i v(x,y).
y Zk+1 Пусть (l) - кусочно-гладкая линия, на которой указано
начало и конец (т.е. линия ориентирована, эта линия
∆Zk Zk может быть и замкнутой). Разобьем кривую
(l) произвольным образом на участки и найдем
x
zk = xk + i yk, ∆zk = ∆xk + i ∆yk .
Этот предел называется контурным интегралом от функции f(z) вдоль линии (l).
Очевидно,
Контурные интегралы обладают всеми свойствами криволинейных интегралов. Отметим два из них.
A
C
B
Вычисление контурных интегралов.
Пусть x = x(t), y = y(t) – параметрические уравнения кривой (L). Или в комплексной форме z = x(t) + i y(t). t = tA → A, t = tB → B.
Отсюда
П р и м е р .
y
x = 2t, t0 = 0, tA = 1, z = 2t + i t, |z| =
z = 2 + i y = t.
A
O 2 x
Теорема Коши.
Пусть функция f(z) аналитическая в области (D).
Теорема.
Если функция f(z) аналитическая в замкнутой односвязной области (D), то интеграл по замкнутому контуру, ограничивающему эту область, равен нулю.
Эта теорема распространяется и на многосвязную область.
(L) Сделаем разрезы γ1 и γ2. Область стала односвязной.
Следовательно,
(Γ) – контуры (L), (L1), (L2) и разрезы (γ1) и (γ2). Разрезы
проходятся дважды в противоположных направлениях, в
силу чего интегралы по этим разрезам взаимно
Llllll ( γ1) уничтожаются. Следовательно,
Γ
(L)
Или
(γ2)
П р и м е р .
2. n > 0, но точка z = a лежит вне контура (L).
(L) ● z = a
-
n > 0, и точка z = a лежит в области, ограниченной контуром (L).
Проведем окружность (С) с центром в точке z = a и радиусом R, не пересекающую (L). Уравнение окружности имеет вид:
|z – a| = R, или z – a = R eiφ, z = a + Reiφ.
Функция аналитическая в области
(L) между (L) и (С). Следовательно,
z = a
(C)