2. Пряма.
Якщо зафіксувати деякий вектор , то він задає напрямок у просторі. Тим самим визначена множина прямих паралельних даному напрямку. Для визначення конкретної прямої з цієї множини, досить вказати точку на ній (див мал. 1). Щоб визначити цю пряму аналітично, тобто вказати рівняння, яке пов’язує координати довільної точки прямої , скористаємось колінеарністю векторів та (вектор називається напрямним вектором прямої) : або , де – довільне число. Таким чином одержане векторне рівняння прямої .
Ця ж рівність для кожної координати вектора дає параметричні рівняння прямої : . (1)
Рис. 1 Тут є параметром – кожна точка прямої визначена деяким його
значенням. Якщо з рівностей (1) виключити параметр , то одержимо канонічні рівняння прямої:
(2)
Розглянемо деякі частинні випадки. Припустимо, що одна з координат напрямного вектора прямої (2) рівна нулю, наприклад, . Тоді пряма, очевидно, перпендикулярна осі абсцис. Якщо ж , то пряма перпендикулярна до площини , тобто паралельна осі аплікат.
Пряму також можна задати, вказавши дві точки та на ній. Нехай – довільна точка шуканої прямої. Тоді вектор буде напрямним і можемо записати канонічні рівняння прямої, заданої двома точками: .
Пряма у просторі може також бути визначена як лінія перетину двох непаралельних площин:
(3)
Ці рівняння описують площини, проте дають мало уявлення про власне пряму. Щоб записати пряму, задану рівнянням (3), у канонічному вигляді, необхідно визначити напрямний вектор прямої та деяку точку на ній. Напрямний вектор, очевидно, має бути паралельним кожній з площин, а отже, перпендикулярним до нормалей та обох площин, тому Рис. 2 можна вважати, що . Для того, щоб визначити точку на прямій (3), покладемо одну із змінних, наприклад , рівною і розв’яжемо систему відносно змінних та .
Приклад 1. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку паралельно прямій .
Напрямний вектор заданої прямої визначаємо із її параметричних рівнянь: . Шукана пряма паралельна заданій, отже, вектор буде напрямним і для неї. За формулами (2) визначаємо канонічні рівняння нашої прямої: .
Приклад 2. Скласти канонічні рівняння прямої , .
Напрямний вектор шуканої прямої визначимо як векторний добуток нормалей площин: , або . Знайдемо ще точку, що належить шуканій прямій. Покладемо, наприклад, та розв’яжемо систему . Помноживши перше рівняння на та додавши до другого, знайдемо
. Отже, , і точка належить прямій. Запишемо канонічні рівняння цієї прямої: .
Зауваження. Очевидна неоднозначність канонічних рівнянь (2) – можна було використати іншу точку на прямій та взяти за напрямний будь-який вектор, колінеарний до .
Означення 1. Пучком площин, що проходять через вісь , називається вся сукупність площин, що проходять через пряму .
Зауваження. Пучок площин англійською мовою звучить як: pencil of planes або sheaf of planes.
Теорема. Нехай вісь пучка задана як лінія перетину двох непаралельних площин : та : . Тоді при довільних та , таких, що , пучок задається рівнянням:
Зауваження. Рівняння пучка у вигляді (4) описує і обидві площини та . Якщо ж покласти у рівнянні (4) , то одержимо рівняння, яке описує всі площини пучка за винятком площини .
Приклад 3. Записати рівняння площини, що проходить через пряму та точку . Шукана площина належить пучку з віссю , або і описується рівнянням при деякому значенні . Щоб визначити , підставимо в це рівняння координати заданої точки : , отже . Тому шуканою є площина .