Федеральное агентство по образованию
Воронежский государственный университет
Математический анализ
Числовые последовательности.
Предел числовой последовательности
Учебно-методическое пособие
по специальности 071900 «Информационные системы и технологии»
для студентов 1 курса очной формы обучения
(издание второе переработанное и дополненное)
Воронеж - 2008
Аннотация издания
Пособие является переработанным и дополненным изданием выпущенного в 2006 году одноименного учебно-методического пособия, созданного на основе опыта преподавания курса математического анализа на факультете компьютерных наук ВГУ. В него включен материал, относящийся к темам «Числовые последовательности» и «Предел числовой последовательности». Каждый параграф содержит справочный материал, набор типовых примеров с решениями и задачи для самостоятельной работы. В пособии приведены варианты заданий, предлагавшихся на второй рубежной аттестации аттестации.
Рекомендовано научно-методическим советом математического факультета ВГУ
Авторы: к.ф-м.н, доцент Сергей Анатольевич Скляднев;
ассистент Светлана Вячеславовна Писарева
Научный редактор: д.ф-м.н, профессор Владимир Алексеевич Костин
Рецензент: д.ф-м.н, профессор Александр Васильевич Лобода
Редактор: О.А. Тихомирова
С.А. Скляднев, С.В. Писарева
Воронежский государственный университет
§ 1. Числовые последовательности
СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ
1.1 Определение числовой последовательности
Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1, 2, 3, ..., , ... поставлено в соответствие вещественное число , то множество вещественных чисел называется числовой последовательностью или просто последовательностью.
Числа называются элементами (членами) последовательности, символ — общим элементом (членом) последовательности, а — номером элемента. Последовательность, как правило, обозначают символом .
Последовательности , , , называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей: и .
Множество значений последовательности может быть как конечным, так и бесконечным, например, множество значений последовательности состоит из двух чисел, 1 и -1, множество значений последовательности бесконечно. Последовательность, множество значений которой состоит из одного числа, называют стационарной.
Последовательность может быть задана с помощью формулы вида
.
Формулу, выражающую через номер , например,
; ;
называют формулой общего члена последовательности.
Для задания последовательности используют и рекуррентные формулы, т.е. формулы, выражающие -й член последовательности через члены с меньшими номерами (предшествующие члены). Так определяют арифметическую и геометрическую прогрессии. Другими примерами являются последовательности
,
, ,
где a, b, c - заданные числа.
Последовательность называют подпоследовательностью последовательности , если есть такая строго возрастающая последовательность номеров , что для любого .
1.2 Ограниченные последовательности
Последовательность ограничена снизу, если существует число такое, что для всех верно неравенство
.
Число называют нижней гранью последовательности.
Последовательность ограничена сверху, если существует число такое, что для всех верно неравенство
.
Число называют верхней гранью последовательности.
Последовательность ограничена, если существуют числа и такие, что для всех верны неравенства
.
Это определение равносильно следующему: последовательность ограничена, если существует число такое, что для всех верно неравенство , или
: .
Следовательно, последовательность ограничена тогда и только тогда, когда ограничено множество ее значений.
Последовательность не ограничена, если для любого найдется такое, что верно неравенство ; или
: .
Аналогично формулируется определение неограниченной сверху (снизу) последовательности.
1.3 Точные грани последовательностей
Число m называют точной нижней гранью (или инфимумом) множества членов последовательности (записывают ), если:
1). ;
2). : .
Число M называют точной верхней гранью (или супремумом) множества членов последовательности (записывают ), если:
1) ;
2) : .
Член последовательности называют наибольшим (соответственно наименьшим), если (соответственно ) для любого , и обозначают его (соответственно ).
Наибольший (соответственно наименьший) член последовательности называют также максимальным (соответственно минимальным).
Если существует (соответственно ), то = (соответственно =).
Из существования (соответственно ) не следует существования (соответственно ).
1.4 Монотонные последовательности
Последовательность называют возрастающей (неубывающей), начиная с номера , если для любого , , верно неравенство .
Последовательность называют убывающей (невозрастающей), начиная с номера , если для любого , , верно неравенство .
Невозрастающую или неубывающую, начиная с номера , последовательность называют монотонной, начиная с номера (возрастающую или убывающую — строго монотонной).
Последовательность, возрастающую с номера , называют возрастающей (аналогично, убывающей и т. д.).
ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 1. Дана формула общего члена последовательности : .
Написать пять первых членов этой последовательности.
Решение. Подставляя последовательно значения =1, 2, 3, 4, 5 в данную формулу общего члена последовательности, получаем:
; ; ; ; .
Пример 2. Доказать, что ограничены последовательности:
1) ; 2) .
Решение. 1) Поскольку
то
,
что и означает ограниченность .
2) Очевидно, для всех имеем
.
Так как , то, применив неравенство Бернулли, получим, что для всех
,
откуда
.
Таким образом, для всех верны неравенства
,
т. е. последовательность ограничена.
Пример 3. Доказать, что не ограничены последовательности:
1) ; 2) .
Решение. 1) Если , то и . Пусть - произвольное положительное число. Возьмем четное число , большее (например, ; тогда , т. е. данная последовательность не ограничена.
2) Из формулы общего члена последовательности имеем:
И, если то
Но так как то
.
Для произвольного положительного числа возьмем (например, ); тогда , и, значит, данная последовательность не ограничена.
Пример 4. Доказать, что последовательность , строго убывает, начиная с некоторого номера.
Решение. Рассмотрим отношение
.
Видно, что при
,
и, значит, (так как ). Итак, данная последовательность строго убывает, начиная с номера .
Пример 5. Доказать, что последовательность строго возрастает.
Решение. Рассмотрим отношение
.
Для любого из неравенства Бернулли получаем:
.
Откуда следует, что для любого
,
т.е. , что и доказывает наше утверждение.
ЗАДАЧИ
Задача 1. Написать пять первых членов каждой из последовательностей:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
Задача 2. Зная несколько первых членов последовательности, написать формулу общего члена последовательностей (выдвинуть какую-либо гипотезу)
1) 1; ; ; ; 2) 1; ; ; …;
3) 1; 2; 2; 3; 3;...; 4) 2; 10; 26; 82; 242; 730; ...; 5) -1; 1; -1; 1; -1;....
Задача 3. Написать пять первых членов и формулу общего члена каждой из последовательностей, заданных рекуррентными соотношениями:
1) x1 = 1, xn+1 = xn!; 2) x1 = 1, xn+1 = xn+3; 3) x1 = 1, xn+1 = (n+1) xn;
4) x1 =2, xn+1 =3xn; 5). x1 = 1, xn+1 = x1 + x2 +…+ xn
Задача 4. Выяснить, какие из чисел являются членами последовательности , если:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Задача 5. Является ли последовательность подпоследовательностью последовательности , если
1)
а) б)
2)
а) б)
3)
а) , ; б) .
Задача 6. Какие из последовательностей являются ограниченными:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) .
Задача 7. Доказать ограниченность последовательностей:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
Задача 8. Доказать неограниченность последовательностей:
1) 2) 3) 4)
5) ; 6) 7) ; 8) .
Задача 9. Доказать, что данные последовательности монотонны, начиная с некоторого номера (своего для каждой последовательности):
1) 2) 3) 4) ; 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14)
Задача 10. Доказать, что данные последовательности убывают, начиная с некоторого номера (своего для каждой последовательности):
1) 2) 3) 4) .