Глава 5 Линейные и квадратичные формы

§ 5.1 Линейная форма

Определение 1. Отображение , заданное на евклидовом пространстве в множество действительных чисел , называется числовой функцией векторного аргумента

Пример. Рассмотрим вектор , тогда f(x)= 3 + 4 = 7 – функция суммы координат, а f(x) = (9 + 16)^0.5 = 5 - функция длины

Определение 2. Отображение , заданное на евклидовом пространстве в множество действительных чисел , называют линейным функционалом векторного аргумента если для любых элементов и любого действительного числа выполняются соотношения:

(свойство аддитивности).

(свойство однородности).

Пример. Легко проверить, что если f(x) – функция суммы координат, то f будет линейным функционалом, а функция длины не будет линейным функционалом.

Верно ли утверждение: если - линейный функционал действует в евклидовом пространстве , то существует единственный элемент такой, что .

Пусть в евклидовом пространстве задан базис и вектор представленный в этом базисе своим разложением .

Пусть f(x) – линейный функционал, тогда

f(x)=

=

или в матричном виде f(x) = A^T X, где

столбец координат вектора в базисе ,

- столбец значений линейного функционала f(e_i)= а_i

Определение 3. Однородный многочлен 1-ой степени f(x)= относительно значений линейного функционала х₁, х₂, …, х_n называется линейной формой.

Таким образом, любая линейная функция f(x) в n-мерном евклидовом пространстве является линейной формой относительно координат ее аргумента х.

При этом запись А^ТХ = 0 называют однородным уравнением линейной формы, а запись А^ТХ = С - неоднородной уравнением линейной формой.

Определение 4. Неоднородное уравнение линейной формы вида

Ах₁ + Вх₂ = С

называется уравнением прямой в двумерном векторном пространстве R², а неоднородное уравнение линейной формы вида

Ах₁ + Вх₂ + Сх₃ = D

называется уравнением плоскости в R³.

Определение 5. Множество векторов Х, удовлетворяющих уравнению АХ = С, называют линейным многообразием или гиперплоскостью, а само уравнений – уравнением гиперплоскости. При этом в пространстве размерности n гиперплоскость имеет размерность (n-1).

Пример. Если рассматривать двумерное векторное пространство, то уравнение вида 3х₁ + 2х₂ = 6 задает гиперплоскость размерности 1 (прямая – гиперплоскость размерности 1 – см. рисунок).

0

х₁

Уравнение 4х₁ + 5х₂ –2х₃ = 7 задает гиперплоскость размерности 2 ( плоскость – гиперплоскость размерности 2).

§ 5.2 Уравнение гиперплоскости в Rn

Пусть в R³ дана точка Р₀(x₀,y₀,z₀) и вектор n(A,B,C)

n(A,B,C)

L P₀ P

Пусть Р(x,y,z)- координаты текущей точки плоскости L. Рассмотрим вектор Р₀Р. Его координаты (х-х_0, y-y₀, z-z₀).

У всякой прямой, лежащей в L, найдется перпендикулярный ей вектор. Пусть это вектор n(A,B,C). Тогда определено равенство

(n, Р₀Р)= 0 (1)

откуда, учитывая определение скалярного произведение, верно

А(х-х₀) + В(y-y₀) + С(z-z₀)= 0 (2)

Верно и обратное, если для точки Р(x,y,z) выполняется условие (1), то эта точка принадлежит рассматриваемой плоскости. Таким образом, уравнениям (1) и (2) удовлетворяют те и только те точки, которые лежат на плоскости, содержащей точку Р₀ и перпендикулярной вектору n (этот вектор называют нормалью к плоскости). Следовательно, каждое из равенств 1-2 является уравнением рассматриваемой плоскости. Уравнение (1) называют уравнением плоскости в векторном форме, а (2) – уравнением плоскости в координатной форме.

Если уравнение (2) преобразовать, то получим уравнение

Ах + Вy + Сz -(Ах₀ + Вy₀ + Сz₀)= 0 или Ах + Вy + Сz = D

Аналогичную задачу можно поставить для n-мерного пространства. Пусть в Rⁿ дана точка Р₀(x₀₁,x₀₂,…,x_0n) и вектор n(a₁,a₂,…,a_n). Рассмотрим множество S точек Р(x₁,х₂,…,х_n)в пространстве Rⁿ таких, что вектор Р₀Р перпендикулярен вектору n(А₁,А₂,…,А_n). Это множество S будет гиперплоскостью размерности (n-1) и может быть задано уравнениями

(n, Р₀Р)= 0 или А₁(х₁-х₀₁) + А₂(х₂-х₀₂) + …+ А_n(x_n-x_0n)= 0 (3)

В пространстве Rⁿ ,кроме прямых и плоскостей (линейных многообразий 1 и 2 порядка), имеются и аналоги прямых и плоскостей размерности 3, 4,…,n-1.

Вернемся к пространству R³. В зависимости от значений координат А, В, С и параметра D, различают положение плоскости в R³ . Например, если D = 0, то плоскость проходит через начало координат, а если А и В равны нулю, то плоскость параллельна плоскости оXY.

Рассмотрим в R³ две плоскости L₁ и L₂ и, соответственно, две отвечающие им нормали n₁(A₁, B₁, C₁) и n₂(A₂, B₂, C₂).

n₁

n₁ n₂

n₂

Если плоскости параллельны, то вектора n₁ и n₂ коллинеарны и их координаты пропорциональны, т.е.

- условие параллельности плоскостей.

Если плоскости перпендикулярны, то можно записать равенство (n₁, n₂)= A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0 - условие перпендикулярности плоскостей.

Угол Q между плоскостями определяется по формуле:

cosQ =

n₁ L₂

n₂

L₁ L₁

Замечание. Условие параллельности трех плоскостей требует попарной параллельности этих плоскостей. Если определитель координатной матрицы нормалей равен нулю, то это не означает, что все три плоскости попарно параллельны – для этого достаточно параллельности двух из трех плоскостей (ранг матрицы равен 2). Более того, три плоскости могут быть попарно непараллельные, а определитель координатной матрицы нормалей может быть равен нулю - достаточно всем трем плоскостям пересекаться по одной прямой.

Пример. Дана точка Р₀(1,-2,3) и вектор n(4,3,-5).Запишем уравнение плоскости:

4(х-1) + 3(y+2) - 5(z-3)= 0 или 4х + 3y - 5z + 17 = 0