13. Вариационный метод Ритца

Метод Ритца является методом получения приближенных решений вариационных задач и широко применяется в аналитических и численных реализациях в различных инженерных и естественно-научных областях. Рассмотрим процедуру метода применительно к решению задач теории упругости на основе вариационного принципа Лагранжа

где – функционал полной потенциальной энергии системы, определенный на множестве кинематически допустимых состояний:

Применяя соотношения Коши и закон Гука, получим явную форму зависимости полной потенциальной энергии от перемещений:

Центральным элементом метода является приближеное представление решения (распределения перемещений в состоянии равновесия) в области в виде разложения по некоторой конечной системе базисных (координатных) функций

где - базисные функции, определенные в области , – неопределенные коэффициенты, знаком * в дальнейшем будем идентифицировать приближенное решение, индекс j следует рассматривать как свободный (не суммировать!).

Система базисных функций должна априорно обеспечивать выполнение кинематических краевых условий, так как множество, на котором ищется решение, должно удовлетворять требованию кинематической допустимости. Это достигается, например, подчинением базисных функций условию

при на части поверхности

При подстановке аппроксимации в выражение для полной потенциальной энергии и выполнении операций интегрирования функционал преобразуется в функцию многих переменных аппроксимирующую функционал. Независимыми переменными этой функции являются коэффициенты аппроксимации распределения перемещений . При этом потенциальная энергия упругой деформации и работа внешних нагрузок представляются, соответственно, квадратичной и линейной формами коэффициентов

Наиболее удобно представлять аппроксимирующую функцию , используя матричные обозначения:

где – матрица-столбец коэффициентов аппроксимации размерности :

- матрицы размерностей, соответственно, - знак транспонирования.

Если придать коэффициентам аппроксимации физическую размерность перемещений (базисные функции предположить безразмерными), тогда элементы матрицы приобретают смысл коэффициентов жесткости, а элементы матрицы-столбца получают физическую размерность сил.

Из условия экстремума (минимума) полной потенциальной энергии

следует разрешающая система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов аппроксимации

Таким образом, исходная континуальная вариационная задача об определении поля перемещений в состоянии равновесия сводится к конечномерной алгебраической задачи об определении коэффициентов аппроксимации.

Очевидно, что замена континуальной (бесконечномерной) задачи дискретной (конечномерной) позволяет определять решение лишь приближенно. Распределения доставляют приближенный экстремум функционалу и, тем самым, неточно удовлетворяют уравнениям равновесия и статическим краевым условиям.

Качество приближения непосредственно обусловлено выбором системы базисных (координатных, аппроксимирующих) функций. Строго говоря, для построения корректной процедуры приближенного решения система базисных функций должна обладать свойством полноты, то есть должна удовлетворять условию существования для любого, сколь угодно малого такого значения (число базисных функций) , при котором выполняется неравенство

На практике часто условие полноты заменяется требованием представительности. На основе опыта решения задач базисные функции выбираются так, чтобы они наилучшим образом соответствовали ожидаемому решению. Для некоторых классов задач при удачном выборе аппроксимации удовлетворительное по точности решение может быть получено даже при

Вариационный метод Ритца может быть применен для любого класса задач, допускающих вариационную формулировку. На его основе разработан широкий спектр аналитических, численно-аналитических и численных процедур решения различных задач математической физики. Особо важное место в этом ряду занимает формулировка на основе вариационного подхода Ритца метода конечных элементов – основного, на современном этапе, инструмента решения задач расчета конструкций.