6. Построение трендовой модели

6.1. Понятие временного ряда

Определение 1. Одномерным временным рядом экономических данных назовем хронологическую последовательность значений какого-либо показателя Y_t, характеризующего изучаемое свойство экономического объекта (процесса), где переменная t - временной параметр, фиксируемый либо через равные промежутки (дискретный временной ряд), либо непрерывно (непрерывный временной ряд). Каждое конкретное значение Y_t назовем уровнем временного ряда.

Замечание 1. Иногда удобнее обозначать уровни ряда в виде Y(t)_.

Замечание 2. В общем случае в определении временного ряда речь может идти о наблюдениях Y(t₁), Y(t₂), _…, Y(t_n) анализируемого показателя Y(t) в последовательные, не обязательно равноотстоящие моменты времени t_1, t_{2, …….} t_n. Для равноотстоящих моментов наблюдения, т.е. в случае t = t₂ – t₁ = t₃ – t₂ = … = t_n – t_n-1 = const, дискретный одномерный ряд может быть представлен в виде Y(1), Y(2), …, Y(n) или в виде вектора-строки Y = {у₁,у₂, …, y_n}.

Процесс развития во времени социально-экономических явлений в статистике принято называть динамикой.

Временные ряды качественно отличаются от простых статистических выборок:

1. Последовательные во времени уровни временных рядов являются взаимозависимыми. Особенно для близко расположенных наблюдений.

2. В зависимости от момента наблюдения уровни временного рядов обладают разной информативностью: по мере их удаления от текущего момента времени информационная ценность пропадает;

3. С увеличением количества уровней временного ряда точность статистических характеристик не будет увеличиваться пропорционально числу наблюдений, при появлении новых закономерностей развития она может даже уменьшаться;

4. Изменение условий развития явления ведет к ослаблению действия одних факторов и уменьшения других, в конечном счете, к варьированию изучаемого признака во времени.

Анализ временных рядов, отражающих развитие экономических процессов, начинается с оценки данных. Они должны удовлетворять следующим условиям:

1. Сопоставимость предполагает формирование всех уровней по одной и той же методике, использование одинаковых единиц измерения и шага наблюдений.

2. Требование однородности данных предполагает отсутствие сильных изломов тенденций. А также нетипичных, аномальных наблюдений. При поиске тенденций бывает целесообразно отбросить часть прошлых данных, утративших закономерность прошлого развития. Аномальные (резко выделяющиеся) наблюдения формально проявляются как сильный скачок (спад) с последующим приблизительным восстановлением предыдущего уровня.

3. Устойчивость характеризуется преобладанием закономерности над случайностью в изменении уровня ряда. На графиках устойчивых временных рядов визуально просматривается закономерность.

6.2. Этапы статистического анализа временных рядов

Обычно при практическом анализе временных рядов наблюдений последовательно выполняют следующие этапы:

1. Постановка задачи и подбор исходной информации;

2. Предварительный анализ данных. Формирование набора аппроксимирующих функций (кривых роста);

3. Численное оценивание параметров моделей кандидатов. Вычислить коэффициенты моделей по одному из методов оценивания;

4. Проверка адекватности и точности моделей;

5. Выбор лучшей модели или построение обобщенной модели;

6. Построение точечного и интервального прогнозов;

7. Верификация прогноза. Содержательный комментарий полученного прогноза.

Кратко поясним суть этих стадий.

Прежде всего, устанавливается цель исследования, и формулируются соответствующие задачи; выполняется содержательный (логико – экономический) анализ, изучаемого явления; решается вопрос о выборе показателя, наиболее полно характеризующего экономический объект; устанавливаются факторы, оказывающие определяющее влияние на ход развития основного показателя; выясняется, насколько чувствительна проблема к точности математического решения (т.е. так ли уж необходим глубокий анализ поставленной проблемы и насколько велики потери из-за неточного решения).

На втором этапе проверяется, соответствуют ли имеющиеся данные требованиям объективности, сопоставимости, однородности, полноты и устойчивости, предъявляемым со стороны математических методов; строится график динамики, и рассчитываются основные динамические характеристики — приросты, темпы роста, темпы прироста, коэффициенты автокорреляции. Набор моделей формируется на основе интуитивных приемов (например, из анализа графика динамики ряда), формализованных статистических процедур (в частности таких, как исследование приростов уровней), с учетом целей исследования, результатов содержательного анализа и качества информационной базы. Предпочтение отдается наиболее простым моделям, которые допускают содержательную интерпретацию.

На третьем этапе осуществляется расчет параметров моде лей либо по методу наименьших квадратов (для моделей кривых роста), либо с помощью специальных процедур (для адаптивных моделей). Основная идея оценки параметров наглядно выражается в максимальном приближении аппроксимирующей кривой к графику эмпирических данных. Использование компьютера многократно ускоряет получение результата, а кроме того, позволяет проводить вычисления по всем моделям и методам, доступным специалисту.

Замечание. Перечисленные модели учитывают лишь один фактор – время – который условно представляет всю совокупность причинных факторов, влияющих на результативный показатель. Причем при построении моделей кривых роста исходят из временной равноценности всех данных, что позволяет говорить об общей тенденции развития. Адаптивные модели, напротив, строятся с учетом возрастающей значимости более поздних наблюдений. Поэтому они полнее отражают динамику изменений изучаемого показателя.

Четвертый этап начинается с вычисления остаточной компоненты – расхождения фактических и расчетных уровней. Достаточным условием адекватности модели является отсутствие автокорреляции уровней ряда остатков, их случайность (стахостическяй характер), соответствие нормальному закон распределения и равенство нулю математического ожидания. Для адекватных моделей рассчитывают и сравнивают характеристики точности (например, такие как средняя относительная ошибка или среднее квадратическое отклонение).

В качестве прогнозной модели на пятом этапе по результатам предыдущего анализа либо выбирают лучшую модель, либо конструируют обобщенную модель из уже построенных. При этом учитываются не только формальные статистические характеристики, но и интерпретируемость их траектории развития с содержательной точки зрения. Если результаты выбора по статистическому и содержательному критериям не совпадают, руководствуются последним.

Этап шестой начинается с выбора наиболее разумного периода упреждения для прогноза — оптимальный временной горизонт прогнозирования задают для каждого показателя на основе содержательного суждения об его стабильности и с учетом автокорреляции уровней и их статистической колеблемости. (Как правило, такой горизонт не должен превышать 1/3 объема данных.) Если теперь к последнему моменту наблюдения прибавить период упреждения и подставить результат в модель кривой роста, мы осуществим экстраполяцию кривой будущее, получив тем самым так называемый точечный прогноз развития процесса. На его основе строится интервальный прогноз.

И наконец (седьмой этап), после получения прогнозных оценок необходимо убедиться в их разумности. Иными словами, следует проверить отсутствие противоречия расчетных результатов известным фактам и сложившимся к настоящему времени представлениям о характере развития в периоде упреждения прогноза.