Число дійсних коренів

Число дійсних коренів з урахуванням кратності або дорівнює степеню рівняння, або на парне число менше. Будь-яке рівняння непарного степеня з дійсними коефіцієнтами має хоча б один дійсний корінь.

У багатьох випадках число дійсних коренів рівняння з дійсними коефіцієнтами можна визначити за правилом Декарта. Перш ніж сформулювати це правило, зробимо деякі зауваження.

1. Ми будемо розглядати кількість змін знаків у даній упорядкованій скінченній послідовності дійсних чисел

(64)

розуміючи під цим кількість пар сусідніх чисел цієї послідовності, які мають протилежні знаки.

Наприклад, у послідовності є 3 зміни знаків, а в послідовності є 0 змін знаків.

Якщо які-небудь з чисел дорівнюють 0, то при підрахунку числа змін знаків їх до уваги не беруть.

Зауважимо, що коли перше й останнє числа і даної послідовності мають однакові знаки, то кількість змін знаків у послідовності (64) парна; якщо ж і мають протилежні знаки, то кількість змін знаків непарна.

2. Припускатимемо, що розглядуваний многочлен не має кратних коренів, оскільки завжди можна відокремити кратні множники.

Правило Декарта. Число додатних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами

(65)

дорівнює числу змін знаків у послідовності його коефіцієнтів або на парне число менше.

Зауваження.

1. Правило Декарта можна застосувати і для оцінки числа від’ємних коренів рівняння з дійсними коефіцієнтами.

2. Коли наперед відомо, що всі корені даного рівняння дійсні, то правило Декарта дає точну відповідь на питання про число дійсних коренів, а саме: число додатних коренів дорівнює числу змін знаків у ряді коефіцієнтів многочлена а число від’ємних коренів - числу змін знаків у ряді коефіцієнтів многочлена .

У більшості випадків наперед невідомо, чи всі корені рівняння дійсні. В зв’язку з цим правило Декарта, хоч і зручне з точки зору простоти застосування, не дає повної відповіді на питання про число дійсних коренів рівнянь з дійсними коефіцієнтами та їх розподіл між додатною і від’ємною півосями.

Відокремлення коренів методом Штурма

Далі перейдемо до питання скільки дійсних коренів рівняння з дійсними коефіцієнтами лежить у довільному, наперед заданому інтервалі дійсної осі.

Повну відповідь на це питання дає метод Штурма.

Нехай - деякий многочлен з дійсними коефіцієнтами, Припустимо, що не має кратних коренів.

Знайдемо похідну і побудуємо для та алгоритм, подібний до алгоритму Евкліда; відмінність полягатиме в тому, що всі остачі ми братимемо з протилежними знаками, тобто Позначимо Таким чином, одержимо:

(66)

де так як і взаємно прості (за припущенням, не має кратних коренів) і тому

Послідовність многочленів

(67)

називається рядом функцій Штурма, або просто рядом Штурма.

У методі Штурма нас цікавитимуть не самі функції ряду Штурма або їх значення, а лише знаки числових значень цих функцій. У зв’язку з цим функції ряду (67) можна знаходити з точністю до сталого додатного множника, тобто, виконуючи ділення з остачею, домножати на сталі множники; ці множники обов’язково повинні бути додатні, щоб не змінювались знаки значень многочленів.

Введемо поняття числа змін знаків у ряді Штурма. Візьмемо в ряді функцій (67) де - якесь дійсне число. Тоді скінченна послідовність функцій (67) перетворюється в послідовність чисел ,

Число змін знаків у цій послідовності позначатимемо через і називатимемо його числом змін знаків у ряді Штурма в точці .

Основні властивості ряду функцій Штурма

Лема 1. Ніякі дві сусідні функції ряду Штурма (67) не мають спільних коренів.

Лема 2. Якщо є коренем однієї з проміжних функцій ряду Штурма, то значення сусідніх з нею функцій ряду Штурма мають у цій точці протилежні знаки.

Лема 3. Якщо , зростаючи, проходить через корінь якої-небудь проміжної функції ряду Штурма, але не проходить через корінь , то число змін знаків у ряді Штурма при цьому не змінюється.

Лема 4. Якщо зростаючи, проходить через корінь многочлена , то число змін знаків у ряді Штурма зменшується на одиницю.

[Доведення самостійно. Див. Завало С. Т., Костарчук В. М., Хацет Б. І. Алгебра і теорія чисел, ч.2. – К.: Вища школа, 1976. – 384 с. – стор.332-333.]

Теорема 34 (Штурма). Якщо i довільні дійсні числа, які не є коренями многочленна , то число дійсних коренів многочленна в інтервалі дорівнює , де і є число змін знаків у ряді Штурма відповідно в точках i .

Зауваження 1. Теорема Штурма справедлива і для випадку, коли кінці інтервалу можуть бути коренями многочлена. Тільки тоді є число коренів не на інтервалі , а на півінтервалі (або на відрізку .

Зауваження 2. Якщо якась з проміжних функцій ряду Штурма не має дійсних коренів, то можна наступних функцій Штурма не знаходити і користуватися в теоремі Штурма «укороченим» рядом

Дійсно, число змін знаків у «залишковому» ряді Штурма

, (68)

є сталими при будь-якому . Адже може пройти лише через корінь проміжної функції ряду (68), що, за лемою 3, не впливає на число змін знаків у цьому ряді. Отже, «залишковий ряд» (68) не впливає на різницю .

Зауваження 3. Якщо має кратні корені, то остання функція ряду Штурма вже не є сталою. Але тоді і можна розглянути ряд многочленів

(69)

який вже має всі властивості, зазначені в лемах 1-4.Через те що число змін знаків у ряді (69) збігається з числом змін знаків у звичайному ряді Штурма то теорема Штурма залишається в силі. Слід лише урахувати, що вона дає в цьому випадку число дійсних коренів не самого многочлена , а многочлена (в якому вже немає кратних коренів), тобто число різних коренів многочлена в без урахування їх кратності.

22