Задание II

Ключ К₁ уже в установившемся положении (замкнут), происходит коммутация ключа К₂, источники постоянные.

Рисунок 27 – Схема до коммутации ключа К₂

а) Классический метод расчета

На схеме цепь первого порядка до коммутации, после коммутации станет цепь второго порядка.

Для цепи второго порядка уже две свободных составляющих, соответственно, две постоянных интегрирования и два корня характеристического уравнения.

1. Независимые начальные условия

Составляется схема до коммутации, в которой нужно будет найти ток на индуктивности и напряжение на емкости в момент времени до коммутации. Индуктивность меняется на закоротку, емкость на разрыв, так как ток постоянный.

Рисунок 28 – Схема для расчета ННУ

(по закону Ома)

(по правилу разброса)

(по второму закону Крихгофа)

2. Зависимые начальные условия

Здесь необходимо найти ток через ЭДС , емкость меняется на активный источник ЭДС, направленный в противоположном направлении с величиной , индуктивность меняется на пассивный источник тока с величиной , схема после коммутации.

Рисунок 29 – Схема для расчета ЗНУ

Система уравнений для контурных токов:

Также по сложению контурных токов:

3. Принужденные составляющие

Здесь находятся ток ЭДС , схема после коммутации. Так как ток постоянный, емкость – разрыв, индуктивность – закоротка.

Рисунок 30 – Схема для расчета принужденных составляющих

4. Корни ХУ

При составлении схемы для нахождения корня ХУ, индуктивность и емкость остаются, обозначаясь соответственно Lp и . Источник тока меняется на разрыв, а источник ЭДС на закоротку. Схема после коммутации.

Рисунок 31 – Схема для решения уравнения Z(p)=0

И конечный вариант сопротивления цепи:

Решив это уравнение, получил корни:

Получил два комплексных корня, что говорит о колебательном переходном процессе в цепи.

5. Нахождение постоянных интегрирования

Нашел постоянные интегрирования, решив систему уравнений:

или

Получил:

6. Окончательный результат:

7. Решение в MathCAD

Рисунок 32 – Решение в MathCAD

8. Построение графика .

Рисунок 33 – График в MathCAD

б) Операторный метод расчета

1. Независимые начальные условия

Независимые начальные условия находятся так же по классическому методу, поэтому возьмем значения из предыдущего метода

2. Операторная схема замещения после коммутации

ЭДС обозначается как E/p, источник тока обозначается как J/p. Емкость C меняется на емкость с последовательно подключенным ЭДС в обратном направлении течения тока. Индуктивность L меняется на индуктивность Lp с последовательно подключенным ЭДС i_L(0)L, направленным по течению тока. Источники ЭДС активные. Искомый ток обозначается I(p). Рассчитал изображение тока в операторной схеме после коммутации:

Рисунок 34 – Операторная схема замещения после коммутации

Система уравнений по контурным токам:

А также:

Получил:

3. Нашел нули знаменателя, т.е. корни характеристического уравнения:

4. Нашел оригинал тока по изображению:

5. Построение графика:

Рисунок 35 – График в MathCAD

6. Сравнение графиков построенных по классическому и операторному методам:

Рисунок 36 – Сравнение графиков в MathCAD

7. Решение в MathCAD

Рисунок 37 – Решение в MathCAD

Результат совпал с результатом, полученным в классическом методе.

в) Метод переменных состояния

В качестве переменных состояния выбираются величины, однозначно определяющие состояние цепи – величины, подчиняющиеся законам коммутации, т.е. токи в индуктивностях и напряжения на емкостях. Уравнения составляются по законам Кирхгофа.

Уравнения состояния в матричной форме

(1)

[X'(t)] – матрица-столбец производных от токов в индуктивностях и напряжений в емкостях (n элементов)

[A] – квадратная матрица коэффициентов при переменных состояния (n на n)

[X(t)] – матрица-столбец переменных состояния (n элем)

[F(t)] – матрица-столбец (независимых) источников ЭДС и тока (m элементов)

[B] – прямоугольная матрица связи, состоящая из коэффициентов перед источниками ЭДС и тока (n строк, m столбцов)

Алгебраические уравнения для выходных величин в матричной форме:

(2)

[Y(t)] – матрица-столбец выходных величин (k - элементов)

[С] – прямоугольная матрица связи выходных величин с переменными состояния (k – строк, n – столбцов)

[D] – прямоугольная матрица связи выходных величин с источниками (k – строк, m – столбцов)

1) Независимые начальные условия

ННУ такие же как в предыдущих методах.

2) Для схемы после коммутации составляются уравнения (1) и (2)

n=2 (емкость и индуктивность)

m=1 (источник ЭДС)

k=1 (ток i(t))

Рисунок 38 – Схема с расставленными токами и напряжениями после коммутации

Сложил первую и третью ветвь параллельно:

По законам Кирхгофа:

Решив, получил и подставив вместо :

Составил матрицы:

и

3) Решил это по методу Рунге – Кутты:

Рисунок 39 – Решение в MathCAD

График сошелся с графиками полученными в предыдущих методах, что говорит о правильности решения.

Вывод:

В ходе выполнения РГР мной были исследованы различные методы расчета переходных процессов в цепях 1 порядка при постоянном, переменном синусоидальном и импульсном напряжении, а также 2 порядка при постоянном напряжении.

Графики, полученные в первом практическом задании при постоянном напряжении, полученные классическим и операторным методами совпали. Исходя из этого можно сказать, что расчеты выполнены успешно.

Графики, полученные в первом практическом задании при переменном напряжении, полученные классическим и комбинированным методами также совпали. Исходя из этого можно сказать, что расчеты выполнены успешно.

Выполнив первое практическое задание могу сказать, что производить расчет при постоянном напряжении и при импульсном напряжении намного легче, чем при переменном. Из методов расчета можно выделить операторный метод, при наличии вычислительных систем, таких как MathCAD, является намного удобней, проще и быстрей нежели расчет классическим методом

Графики, полученные во втором практическом задании при расчете схемы 2 порядка с постоянным источником ЭДС тремя методами: классическим, комбинированным и методом переменных составляющих, совпали с учитывая небольшую погрешность. Это позволяет сказать, что расчеты выполнены верно.

Про погрешности хотелось бы сказать, что проанализировав уравнения переменного процесса, я заметил сильную чувствительность графиков от коэффициентов. При изменении на несколько десятых одного из коэффициентов, график смещался или менял направление. Поэтому можно с уверенностью сказать, что погрешность вызвана округлением как с моей стороны, так и со стороны MathCAD`а.

При анализе решения цепи второго порядка могу сделать вывод, что метод переменных состояний является еще проще, чем операторный.