РГР №3 (Математика)
.docx-
Теорема Ферма
Пусть функция y = f(x) определена в интервале (а, в) и принимает в точке этого интервала наибольшее или наименьшее на (а, в) значение. Тогда если f(x) дифференцируем в точке х(нулевое),то f’(x)=0
Пусть функция f(x) определена в окрестности точки x0 и дифференцируема в этой точке. Тогда, если функция f(x) имеет локальный экстремум в точке x0, тоf′(x0)=0.
2)Теорема Ролля
Теорема. Пусть функция дифференцируема в открытом промежутке , на концах этого промежутка сохраняет непрерывность и принимает одинаковые значения: . Тогда существует точка , в которой производная функции равна нулю:
3)Формула Лангража
f(b)-f(a)=f '(c)(b-a)
4) Теорема Коши
-
непрерывны на отрезке [a, b];
-
дифференцируемы в интервале (a, b);
-
x (a, b) g'(x)!=0 =
5,6) Определение четной и нечетной функции
Функцию y=f(x), x∈X называют чётной, если для любого значения x
из множества X выполняется равенство f(−x)=f(x).
Функцию y=f(x), x∈X называют нечётной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство f(−x)=−f(x).
7,8) Определение возрастающей и убывающей функции
Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
9,10) Определение точки разрыва первого и второго рода
1.Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода.
2. Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.
11)Необходимые условия возрастания и убывания функции
Необходимое условие возрастания функции. Если функция y = f (х) дифференцируема и возрастает на интервале [а, b], то f '(х) > 0 для всех х из этого интервала.
Необходимое условие убывания функции. Если функция у = f (х) дифференцируема и убывает на интервале [а, b], то f(х)<0 для всех х из этого интервала.
12)Достаточные условия возрастания и убывания функции
Достаточное условие возрастания (убывания функции). Пусть функция у = f (x) дифференцируема на интервале [а, b], Если во всех точках этого интервала f’(x)>0, то функция возрастает на этом интервале, а если f’(х)<0, то функция убывает на этом интервале.
13)Определение точки максимума и точки минимума
1.Точка x = x0 называется точкой максимума, а число f(x0) — максимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x0 , не совпадающих с x0 , выполняется неравенство f(x0)>f(x) .
2. Точка x = x0 называется точкой минимума, а число f(x0) — минимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x0 , не совпадающих с x0 , выполняется неравенство f(x0)< f(x) .
14)Необходимое условие экстремума
Если x0 — точка экстремума, то производная в этой точке равна нулю или не существует.
15)Определение критической точки первого рода
Критической точкой первого рода , называются точки в которой первая производная равна нулю или не существует
-
16) функция непрерывна в окрестности точки ;
-
или не существует;
-
производная при переходе через точку меняет свой знак.
17,18)Определение графика выпуклого вниз
График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.
График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.
19)Определение точки перегиба
Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.
20)Признаки выпуклости графика
1. Если f' возрастает на , то f выпукла на (если f' строго возрастает, то f строго выпукла).
2. Если , то f выпукла на (если обращаясь в нуль, возможно, лишь в конечном числе точек, то fстрого выпукла).
3. Функция f выпукла тогда и только тогда, когда график функции лежит не ниже касательной, проведенной к нему в любой его точке.
21) Необходимое условие существования точек перегиба
Если точка — точка перегиба функции и если в некоторой окрестности точки (непрерывная в точке ), то .
22) Определение критической точки второго рода
Критическая точка второго рода - это точка функции, в которой вторая производная функции равна 0
23)Достаточное условие существования точек перегиба
Если функция непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную и если меняет знак при переходе через точку , то точка — точка перегиба функции .
24) Определение асимптоты графика
Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
25)
Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или
26)
Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно .
27)
Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если