- •Топография с основами геодезии Курс лекций минск
- •Предисловие
- •1. Введение
- •1.1. Предмет и задачи топографии и геодезии
- •1.2. Краткий очерк развития топографии и геодезии
- •1.3. Единицы мер в топографии и геодезии
- •2. Общие сведения
- •2.1. Форма и размеры Земли
- •Размеры земного эллипсоида
- •2.2. Методы определения формы и размеров Земли
- •2.3. Методы проецирования земной поверхности
- •2.4. Размеры участков земной поверхности, принимаемые за плоскость
- •2.5. Cистемы координат, применяемые в топографии и геодезии
- •2.6. Ориентирование направлений в топографии и геодезии
- •Связь между полярной и прямоугольной системами координат
- •3. Топографические планы и карты
- •3.1. Понятие о плане и карте. Основные свойства и элементы топографических карт
- •3.2. Проекции топографических карт. Зональная система плоских прямоугольных координат
- •3.3. Масштабы планов и карт
- •3.4. Разграфка и номенклатура карт
- •3.5. Понятие о картографической генерализации
- •3.6. Условные знаки топографических карт
- •Центры (местоположения) объектов, изображаемых внемасштабными условными знаками
- •3.7. Рельеф земной поверхности и его изображение на топографических картах
- •3.8. Определение плановых координат и измерение ориентирующих направлений на топографических картах
- •3.9. Анализ топографических карт. Географическое описание местности
- •4. Основы теории ошибок измерений
- •4.1. Понятие об измерениях
- •4.2. Классификация ошибок измерений
- •4.3. Свойства случайных ошибок
- •4.4. Оценка точности результатов равноточных измерений. Арифметическая середина
- •4.5. Оценка точности результатов неравноточных измерений
- •5. Измерения углов
- •5.1. Теодолиты и их виды. Устройство оптических теодолитов
- •5.2. Поверки теодолитов
- •5.3. Установка теодолита и измерение горизонтальных углов
- •5.4. Измерение вертикальных углов
- •5.5. Измерение магнитных азимутов
- •6. Измерение расстояний
- •6.1. Непосредственное измерение расстояний
- •6.2. Определение неприступных расстояний
- •6.4. Понятие об электромагнитных измерениях расстояний
- •7. Геодезические опорные сети
- •7.1. Виды геодезических опорных сетей
- •7.2. Плановая съемочная геодезическая сеть
- •7.3. Математическая обработка теодолитного хода
- •Ведомость вычисления координат
- •7.4. Вычисление координат отдельных точек
- •7.5. Понятие о спутниковых системах позиционирования
- •8. Определение высот точек земной поверхности. Нивелирование
- •8.1 Геометрическое нивелирование
- •8.2. Нивелиры и их устройство
- •8.3. Поверки и юстировки нивелиров
- •8.4. Нивелирование трассы
- •8.5 Обработка результатов геометрического нивелирования Математическая обработка включает два вида работ: вычислительную и графическую (построение профиля).
- •8.6. Тригонометрическое нивелирование
- •8.7. Физические способы нивелирования
- •9. Топографические съемки
- •9.1. Классификация съемок
- •9.2. Способы съемки ситуации и рельефа
- •9.3. Тахеометрическая съемка
- •9.4. Мензульная съемка
- •9.5 Современная технология производства топографической съемки
- •10. Фототопографические съемки
- •10.1. Общие сведения об аэрофотосъемке
- •10.2. Комбинированная съемка
- •10.3. Дешифрирование фотопланов и аэрофотоснимков
- •10.4. Понятие о стереотопографической съемке
- •10.5. Наземная фототопографическая (фототеодолитная) съемка
- •11. Ориентирование на местности
- •11.1. Ориентирование по карте
- •11.2. Определение сторон горизонта по небесным светилам и местным предметам
- •Литература
4.3. Свойства случайных ошибок
Если одну и ту же величину, истинное значение хкоторой известно, многократно определить с равной точностью, то получимрядизмеренийl1, l2,… ln. Каждое измерение будет иметь свою случайную ошибку Δ1, Δ2, … Δn, т. е.l1- х = Δ1; l2- х = Δ2; …; ln- х = Δn.
Полученный ряд случайных ошибок обладает определенными статистическими свойствами:
1. Свойство симметричности, т. е. равные по абсолютной величине, но разные по знаку ошибки встречаются в рядах результатов измерений одинаково часто.
2. Свойство унимодальности илисосредоточения, т. е. малые по абсолютному значению ошибки встречаются чаще чем большие.
3. Свойство ограниченности, т. е. абсолютное значение случайных ошибок результатов измерений не может быть больше некоторого известного предела (предельной погрешности) Δi Δпред. Величина предельной погрешности устанавливается инструментами.
4. Свойство компенсации, т. е. среднее арифметическое из всех случайных ошибок ряда измерений при неограниченном увеличении числа измерений, стремится к нулю, где Δ – случайные ошибки,n – количество измерений.
Если суммы обозначить квадратными скобками [ ] (символ сумм Гаусса), то можно записать .
Е
Рис.
4.1
Приведем пример, подтверждающий свойства случайных ошибок. В результате 10-кратного измерения расстояния мерной лентой получили следующие случайные ошибки (табл. 4.1).
Таблица 4.1
Измерения |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Ошибки, см |
-1 |
+2 |
-1 |
+1 |
+2 |
-2 |
-3 |
+4 |
-1 |
+6 |
Из данного ряда результатов измерений можно отметить, что ошибок по абсолютному значению от 0 до 2 см – семь, от 3 до 4 см – две, свыше 4 см – одна. Среднее арифметическое из десяти ошибок равняется 0,7 см.
4.4. Оценка точности результатов равноточных измерений. Арифметическая середина
Если имеется ряд результатов равноточных измерений l1; l2; …; lnодной и той же величины, то за окончательное значение принимают среднюю арифметическую величинуLиз всех результатов.
.
Если истинное значение измеряемой величины х, то абсолютные ошибки будут равны:
Δ1= l1- х;
Δ2= l2- х;
………;
Δ n= ln- х,
________
[Δ] = [l] – nx.
Из суммы равенств получим, что .
В соответствии со свойством 4 случайных ошибок, с увеличением числа измерений величина приn → ∞.
Следовательно, при бесконечно большом числе измерений, среднее арифметическое L будет стремиться к истинному значению измеряемой величины х.
Величина при конечном числе измерений будетвероятнейшим значением определяемой величины, называемой арифметической серединой. Разность между результатом измерения и средним арифметическим называют уклонением от арифметической середины или вероятнейшими ошибками υ, т. е. l1 - L = υ1.
Сумма вероятнейших ошибок равняется нулю , если величина среднего арифметического не имела округлений.
В топографии и геодезии в качестве критериев точности измерений в основном применяют среднюю квадратическую ошибкуиотносительную ошибку.
Среднюю квадратическую ошибку отдельного результата измерения mвычисляют по формулеГаусса:.
Формулу Гаусса можно использовать, когда известно истинное значение измеренной величины, а для оценки точности величин, истинное значение которых неизвестно, применяется формула Бесселя , гдеυ – вероятнейшая ошибка.
Среднюю квадратическую ошибку арифметической середины М выражают через среднюю квадратическую ошибку mотдельного измерения, т. е. .
Таким образом, средняя квадратическая ошибка арифметической середины из результатов равноточных измерений в раз меньше средней квадратической ошибки результата отдельного измерения. Для уменьшения ошибки измерения, например, в 2 раза, количество измерений необходимо увеличить в 4 раза.
Применительно к конкретным условиям указывают критерий отбраковки результатов измерений. В качестве такого критерия служит предельная ошибка. Для наиболее значимых измерений применяются повышенные требования к точности и величину предельной ошибки принимают равной 2m, т. е. Δпр.=2m(удвоенное значение средней квадратической ошибки. Для менее значимых измерений принимается величина предельной ошибки равная3m, т. е. Δпр.=3m(утроенное значение средней квадратической ошибки).
Пример, если при угловых измерениях m = 5˝, то «по правилу2m» отбраковываются все результаты, значения которых по абсолютной величине больше 10˝, а применительно к «правилу3m» отбраковываются – больше 15˝.
Для суждения о точности многих измерений недостаточно определения величины абсолютной ошибки, необходимо еще знать значение самой измеряемой величины. Так, для получения представления о точности линейных, площадных и других измерений применяется относительная ошибка.
Относительная ошибка – это отвлеченное число, выражающее отношение абсолютной ошибки к результату измерения. Относительную ошибку принято выражать простой дробью, числитель которой равен единице.
– для отдельного результата измерений
–для арифметической середины.
Значение знаменателя принято округлять до двух значимых цифр. Чем больше знаменатель, тем выше точность выполненных работ.
Рассмотрим пример. Измерены две линии: одна длиной 220 м со средней квадратической ошибкой 0,17 м, другая – длиной 390 м со средней квадратической ошибкой0,23 м, т. е.L1 = 220 м,m1=0,17 м,L2 = 390 м,m2=0,23 м. Какая из линий измерена точнее?
Подставив результаты измерений и вычислений в вышеприведенные формулы,получим,что относительная ошибка в первом случае будет равна , а во втором –. Следовательно, вторая линия измерена точнее, несмотря на большую величину абсолютной ошибки.