307,327 задачи
.docОглавление
Задание 307 3
Задание 327 5
Задание 307
При штамповке металлических клемм получается в среднем 90% стандартных. Определите: а) наивероятнейшее число и вероятность наивероятнейшего числа стандартных клемм в партии из 900 клемм; б) вероятность наличия от 790 до 820 годных клемм в этой партии.
Дано:
p = 0,90
k1 = 790
k2 = 820
n = 900
Найти: 1) = ? 2) k0 = ? 3)
Решение:
1. Вероятность того, что клемма, полученная при штамповке, будет нестандартной, определяется как
q = 1 – p = 0,1.
Общее число клемм в партии составляет n, следовательно, можно говорить о n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность того, что клемма будет признана стандартной, составляет p. Тогда в соответствии с интегральной теоремой Лапласа вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р, событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна
где – функция Лапласа,
В нашем случае:
Используя табулированные значения функции Лапласа, получаем
Следовательно,
2. Наивероятнейшее число k0 стандартных клемм высчитывается из следующего неравенства:
,
где в нашем случае n = 900; p = 0,9; q = 0,1:
Учитывая, что k0 – целое число, k0 = 810.
3. Поскольку k0 велико, вероятность наивероятнейшего числа попаданий высчитывается при помощи локальной теоремы Лапласа:
где
Подставляя исходные данные, вычисляем аргумент функции Лапласа
далее воспользуемся табличным значением функции φ(x):
Тогда
Ответ: 1) 0,8533; 2) 810; 3) 0,0443.
Задание 327
Задан закон распределения случайной величины X (в первой строке таблицы даны возможные значения величины X, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).
Вычислить: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(Х); 3) среднее квадратическое отклонение σ.
110 |
120 |
130 |
140 |
150 |
|
0,2 |
0,3 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
Решение:
Математическое ожидание дискретной случайной величины X числа появлений события А в i независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна pi, равно
Дисперсия дискретной случайной величины X равна
Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно
Ответ: 1) М(Х) = 126; 2) D(Х) = 144; 3) σ = 12.