Задачник / Глава 06 (112-155)
.pdf
|
|
13,24 МПа, |
|
|
72,9 |
|
МПа, |
tg2 |
2 31,07 |
1,042 ; |
|
1 |
3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
59,66 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
о |
|
|
о |
|||
|
|
|
2 46 10 |
, |
23 5 . |
В точке 5 вертикальные и горизонтальные площадки свободны от , следовательно, они и есть главные,
1 = 0 , 3 = 119,32 МПа.
На рисунке 6.15 изображены элементы, «вырезанные» из фасада балки в точках 1–5 в опасном сечении и указаны главные площадки и на-
пряжения. Знак «–» перед указывает на то, что оно сжимающее.
т.1 |
|
|
|
т.2 |
1 |
|
|
3 34,8 МПа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
39,8 МПа |
|
|
|
|
|
13,3 МПа |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40,9 МПа |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 48,1МПа |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
40 24 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.3 |
|
|
|
т.4 |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
41,4 МПа |
|
1 |
|
|
3 72,9 МПа |
||
|
45 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
41,4 МПа |
|
|
|
|
59,7 МПа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
31,1МПа |
|
|
45 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
41,4 МПа |
|
|
|
|
1 13,2 МПа |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
23 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
119,3 МПа |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.15 |
|
|
|
|
|
6.1.7 Проверка прочности балок, допускаемые нагрузки
Пример 6.1.8. Произвести проверку прочности стальной балки (рис. 6.16, а) коробчатого сечения, размеры которого приведены на рисунке 6.17.
Эпюры Q и M построены по известным правилам (рис. 6.16, б, в). Допускаемые напряжения: 160 МПа; 80 МПа.
132
F=500 кН |
|
|
m 98кНм |
|
|
|
|
|
||
|
RA=920,83 кН |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) |
|
|
q=300 кН/м |
RВ=299,17 кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
b=12 см |
|
|
|
0,2 м |
2,2 м |
|
0,2 м |
|
1 |
Fп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
500 |
560 |
|
|
|
|
|
2 |
|
Fc |
см |
|
|
|
|
|
|
b1=8 см |
||||
|
|
|
|
|
299,17 |
|
|
|
||
|
|
Эп. Q, кН |
|
|
|
|
5 см |
=11 |
||
- |
|
|
h=24 см |
см |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
п |
||
|
|
|
|
|
3 |
c |
||||
б) |
|
|
|
- |
=20 |
y |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
х |
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
+ |
|
|
|
h |
|
|
y |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
360,83 |
|
|
Эп. М, кНм |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,4 м |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) |
106 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51,5 |
|
|
|
38,17 |
|
|
|
y |
|
|
- |
|
|
- |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
Рис. 6.17 |
|
|
|
|
|
|
59,83 |
|
|
|
|
||
|
|
|
111 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Предварительно вычислим момент инерции коробчатого |
||||||||
сечения относительно оси x: |
|
|
|
|
|
|
|
bh3 |
|
b h |
3 |
|
12 243 |
|
8 203 |
||
I x |
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
8490 см4. |
|
12 |
12 |
|
12 |
12 |
||||||
|
|
|
|
|
|
Для проверки прочности воспользуемся третьей теорией прочности:
pIII 2 4 2 .
Выберем опасные точки в балке, где расчетное напряжение может достигнуть наибольшей величины. Максимум pIII может быть достигнут
вследующих точках балки:
1)в точке, где = max. Эта точка располагается в сечении с наибольшим изгибающим моментом, в наиболее удаленном от нейтральной
оси волокне (точка 1 в сечении с Mmax = 111 кНм). В этой точке всегда отсутствует касательное напряжение (τ = 0), следовательно
pIII max ;
133
2) в точке, где τ = τmax. Эта точка располагается в сечении с наибольшей поперечной силой (Q = 560 кН) на нейтральной оси (точка 3), но здесь нормальное напряжение равно нулю, следовательно
pIII 2 max ;
3)третью опасную точку надо искать там, где и не максимальны, но одновременно достигают возможно большей величины. В данном
примере это точка 2 в сечении с М = 106 кНм, Q = 560 кН. Вычислим напряжения в точках.
Точка 1: |
|
|
M |
|
y |
|
111 10 3 12 10 2 |
156,89 МПа<160 МПа. |
|
|
|
max 1 |
|
|
|||||
max |
|
I |
|
|
8490 10 8 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точка 3: max |
|
|
|
Q |
max |
S3 |
|
|
|
560 10 3 464 10 6 |
76,52 МПа; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
I |
x |
(b b ) |
8490 10 8 |
4 10 2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
76,52 МПа< 80 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
МПа. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Здесь (см. рис. 6.17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
S |
3 |
|
А y |
2А y 12 2 11 2 2 10 5 464 см3. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
с |
с |
|
|
|
|
|
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
153,04 МПа < 160 МПа. |
|||||||||
|
|
рIII |
2 |
|
max |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Точка 2: |
M |
A |
y |
2 |
|
|
|
106 10 3 |
10 10 2 |
124,85 МПа; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
I |
x |
|
|
|
|
8490 |
10 8 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Q |
|
S |
2 |
|
|
|
|
560 10 3 |
264 10 6 |
43,53 МПа. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8490 10 8 |
2 2 10 2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
I |
x |
|
b |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь |
|
S |
2 |
|
A y |
12 2 11 264 см3. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
МПа < 160 МПа. |
||||||||||||||||||||||||||
pIII |
|
124,85 2 |
|
4 43,53 2 152, 2 |
Значит, прочность коробчатого сечения обеспечена.
Пример 6.1.9. Для предыдущей балки подобрать двутавровое сечение и выполнить проверку прочности по четвертой теории прочности, если
= 160 МПа, = 100 МПа.
Решение. Подбираем двутавр по Мmax = 111 кНм из условия прочности только по нормальным напряжениям:
|
|
|
M |
max |
|
111 10 3 |
|||
W |
|
|
|
|
|
|
693,8 10 6 м3 = 693,8 см3. |
||
x |
|
160 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
134
Ближайший меньший двутавр I 33, W = 597 см3, работал бы с пере- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
напряжением на 16%, поэтому выбираем I 36, W = 743 см3. В этом случае |
|||||||||
max меньше на 6,7 %. |
|
|
|
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
Для I 36 имеем: h = 36 cм, b = 14,5 cм, t = 1,23 см, d = 0,75 см, |
|||||||||
Ix = 13380 см4, Sx = 423 см3. |
|
|
|
|
|
||||
Проверка прочности балки. |
|
|
|
|
|||||
Опасные сечения и точки остаются те же, что и в предыдущей задаче |
|||||||||
(рис. 6.18). |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
b |
|
Точка |
1: |
max 111 10 |
( 0,18) |
149,3 |
|||||
1 |
|||||||||
|
|
|
13380 10 8 |
|
|
|
t |
||
МПа; |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
max 149,3 МПа < |
160 МПа. |
|
|
||||||
Точка 3: |
|
|
|
|
|
h |
3 |
||
|
560 10 3 423 10 6 |
|
|
|
х |
||||
max |
236,05 МПа; |
||||||||
13380 |
10 8 7,5 10 3 |
d |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
max 236,05 |
МПа > 100 МПа. |
|
t |
||||||
Особенностью |
рассмотренного |
|
примера |
y |
|||||
является действие большой сосредоточенной си- |
|||||||||
|
|||||||||
лы на малом плече (рис. 6.16), которая создает |
Рис. 6.18 |
||||||||
небольшой изгибающий момент в сечении бал- |
|||||||||
|
|||||||||
ки, а поперечная сила при этом значительна. Именно этим объясняется то, |
|||||||||
что условие прочности в точке 3 по касательным напряжениям в данном |
|||||||||
случае не выполняется. Поэтому выбираем другой двутавр – № 60: Ix = |
|||||||||
76806 см4, Sx = 1491 см3, d = 1,2 см, t = 1,78см, b = 19 см. Двутавр № 55 ра- |
|||||||||
ботал бы с перенапряжением 7,4%. |
|
|
|
|
|||||
Проверяем прочность в сечении над опорой в точке на нейтральной |
|||||||||
оси: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
560 10 3 1491 10 6 |
90,59 МПа |
< 100 МПа. |
|||||
|
76806 10 8 12 10 3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Прочность в точке 3 обеспечена. |
|
|
|
|
|||||
Проверяем прочность в том же сечении в точке 2: |
|
||||||||
|
|
|
106 10 3 28,2 10 2 |
38,92 МПа ; |
|||||
|
|
76806 10 8 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
560 10 3 |
984,5 10 6 |
|
|
||||
|
|
|
76806 10 8 12 10 3 |
59,82 МПа, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
135 |
где y |
|
|
h |
t |
60 |
1,78 28,2 см; |
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
t |
|
|
30 |
0,89 984,5 |
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
S2 |
b t |
|
|
|
|
19 1,78 |
см . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
Тогда
pIV 38,922 3 59,82 2 110,6 МПа < 160 МПа; т. е. прочность двутавра № 60 обеспечена.
Пример 6.1.10. Для чугунной балки таврового сечения (рис.6.19 и 6.20) построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, опреде-
лить величину допускаемой нагрузки, если допускаемые напряжения рав- |
ны: при растяжении [ p ] = 40 МПа, при сжатии c = 120 МПа; a = 0,6 м. |
|
F |
3 F |
|
|
F |
|
20 см |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
х1 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
9 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
2а |
|
36 см |
|
9 см |
х |
F |
F |
Эп. Q |
|
|
х2 |
|||
|
|
|
4 |
|||||
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
Fа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эп. М |
|
|
y |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.20 |
|
|
Рис. 6.19 |
|
|
|
|
|
||
|
Решение. |
Эпюры |
Q и |
M построены |
по |
известным |
правилам |
(рис. 6.19). Из эпюры моментов берем Mmax = Fa. Вычислим момент инерции сечения (рис. 6.20) относительно центральной оси x.
Площади стенки и полки сечения тавра равны, поэтому общий центр тяжести располагается посередине между центрами площадей стенки и полки.
|
|
|
20 63 |
|
4 303 |
|
||
I |
x |
|
|
20 6 92 |
|
4 30 92 |
29196 см4. |
|
12 |
12 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Для определения допускаемой нагрузки воспользуемся условием прочности:
136
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
max |
|
[ p ] |
|
|
||||
|
|
|
max |
|
|
|
y1,2 |
|
; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
I x |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ c ] |
|
|
||||
|
|
|
y1 12 см, |
y2 24 см; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mmax = Pa; |
|
|
|
|
|||||
подставим в условие прочности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Fa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1,2 |
|
, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ix |
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ p ] Ix |
|
|
40 103 |
2,92 104 |
10 8 |
162, 2 |
кН; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Fp |
a y1 |
|
|
|
|
|
|
|
0,6 0,12 |
|
|
||||||||
F |
c Ix |
|
120 103 |
2,92 104 |
10 8 |
243, 2 |
кН. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
c |
|
|
a y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 0, 24 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В качестве допускаемой принимаем меньшую из сил, т. е. [Fp ] = 162,2 кН.
6.1.8 Определение перемещений в балках по методу начальных параметров
Пример 6.1.11. Для заданной балки (рис. 6.21, а) записать функции прогиба, угла поворота, изгибающего момента и поперечной силы. По-
строить эпюру прогибов балки, если Ix = 1430 cм4, E = 2 105 МПа;
EIx = 2 105 106 1430 10-8 = 2,86 106 Нм2.
Решение. Определяем опорные реакции, располагаем начало координат в защемлении, обозначаем участки и записываем уравнение метода начальных параметров:
z 0 θ0 z |
M |
0 |
z 2 |
Q z3 |
|
q |
0 |
z 4 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
z a |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2EI |
6EI |
|
|
|
24EI |
|
|
|
|
||||||
|
M |
доп z a 2 |
|
Qдоп z a 3 |
|
qдоп z a 4 |
. |
|||||||||||||
|
2EI |
|
|
6EI |
|
|
|
|
24EI |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
137
а) |
RA=32 кН |
|
|
m 6 кНм |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
q =10 кН/м |
|
|
|
|
||
|
А |
|
|
|
В |
|
C |
z |
|
МА=26 кНм |
|
|
|
||||
|
|
|
qдоп |
F=8 кН |
||||
|
|
|
а=4 м |
|||||
|
y |
|
l=6 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
Эп. 103 |
, м |
|
|
48,1 |
||
|
|
|
|
27,28 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||
|
|
|
9,21 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2,83 |
5,6 |
Эп. Q, кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
8 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
32 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эп. М, кНм |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
г) |
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
max |
=25,2 22 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.21 |
|
|
|
|
|
|||||||||
Определяем начальные параметры 0 , |
θ0 , M0 |
, Q0 , q0 |
при z 0 и |
|||||||||||||||||||||
дополнительные |
параметры |
|
при z a. |
|
При |
z 0 |
в заделке |
|||||||||||||||||
0 0; θ0 |
0; |
M0 M A 26 кНм; Q0 |
RA 32 кН ; q0 10 кН/м; |
|||||||||||||||||||||
при z a |
Mдоп |
m 6 |
кНм; Qдоп 0; qдоп q. |
|
Здесь используются правила знаков для М и Q, принятые при построении эпюр. Подставим эти значения в общее уравнение и продифференцируем его трижды, не раскрывая скобок. В пояснение заметим, что
|
d z a n |
|
d z a n |
n z a n 1, |
|
|||||||||||
|
|
dz |
|
|
d z a |
|
||||||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 26 z2 |
|
32 z3 |
|
10 z4 |
|
|
z a |
|
6 z 4 2 |
|
10 z 4 4 |
; (1) |
||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2EI |
|
6EI |
|
|
|
24EI |
|
|
|
|
2EI |
|
24EI |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
138
θ z |
26 z |
|
16 |
z2 |
|
1,67 |
z3 |
|
|
|
|
z a |
6 |
z 4 |
|
|
1,67 |
z 4 3 |
; |
(2) |
|||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
EI |
|
EI |
|
EI |
|
|
|
|
|
|
|
|
EI |
|
|
|
|
|
|
EI |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
z a |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
EI z M 26 16 2 z 1,67 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 1,67 3 z 4 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||||||||||||
EI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
z a |
16,7 6(z 4) . |
|
(4) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
z Q 32 1,67 6 |
|
|
С помощью этих зависимостей можно определить , θ , M , Q в любом сечении балки, учитывая, что члены после вертикальной черты используются лишь при z>a.
По выражениям (3) и (4) построены эпюры М и Q (см. рис. 6.21, в, г). Воспользуемся первой зависимостью и построим изогнутую ось бал-
ки, подсчитав прогибы при z = 1, 2, 3, 4, 5, 6 м. Вынесем общий множитель:
z |
1 |
|
[13z 2 |
5,33z3 |
0,417z 4 |
|
|
|
z a 3 z 4 2 0,417 z 4 4 ] ; |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
EI |
|
|
|
1 |
|
|
|
(13 12 |
5,33 13 |
0,417 14 ) 2,83 10 3 |
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
м; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2860 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
1 |
|
|
|
(13 22 |
5,33 23 |
|
0,417 24 ) 5,6 10 3 |
м; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2860 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
|
1 |
|
|
(13 32 |
5,33 33 |
0,417 34 ) 7,69 10 3 м; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2860 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
(13 42 |
5,33 43 |
0,417 44 ) 9,21 10 3 м; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2860 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
5 |
|
1 |
|
|
(13 52 |
5,33 53 |
|
0,417 54 |
3 5 4 2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2860 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0,417 5 4 4 ) 27,28 10 3 м; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
1 |
|
|
|
(13 62 |
5,33 63 |
|
0,617 64 |
3 6 4 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2860 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,417 6 4 4 ) 48,1 10 3 м.
По полученным данным изобразим эпюру прогибов (см. рис. 6.21, б). Из выражения (2) найдем угол поворота сечения В при z = 4 м. Поскольку сечение В находится на границе I участка, то члены после вертикальной черты опускаем:
139
z |
1 |
|
26z 16z 2 1,67z3 |
103 |
|
26z 16z 2 1,67z3 ; |
||||
|
|
|
2,86 106 |
|
||||||
|
|
EI |
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
1 |
26 4 16 42 1,67 43 |
1,58 10 2 рад. |
|||||
2860 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6.1.12. Для заданной балки (рис. 6.22) составить функции прогиба и угла поворота. Построить эпюру прогибов с интервалом z = 2 м и найти угол поворота сечения D.
R |
A |
8 кН |
RС=28 кН |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q=10 кН/м |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
А |
В |
C |
D |
|
|
|
m 12 кНм |
|
|
|
|
а=2 м |
|
|
|
|
|
|
l=4 м |
b =2 м |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
Эп. , мм |
|
|
|
|
|
|
6,99 |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
24,2 |
|
|
|
|
Рис. 6.22 |
|
Дано: EI = 2,86 МНм2.
Решение. Определяем опорные реакции, выбираем систему координат (z, y) и записываем уравнение метода начальных параметров:
|
z 0 0 z |
M z |
2 |
|
Q z3 |
|
|
q z 4 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
z a |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2EI |
|
|
6EI |
|
24EI |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
M доп1 z a 2 |
|
|
z l |
|
Qдоп2 z l 3 |
|
|
|
qдоп2 z a 4 |
. |
||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
2EI |
|
|
|
|
|
|
6EI |
|
|
24EI |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Определим начальные и дополнительные параметры. |
|
||||||||||||||||||||
При z = 0 имеем 0 0 ; 0 |
0 ; M0 0 ; Q0 |
RA 8 кН; |
|||||||||||||||||||
|
q0 0 ; |
z a , M доп1 |
m 12 кНм ; |
|
|||||||||||||||||
|
z l , Qдоп2 |
Rc 28 |
кН ; |
|
|
|
|
|
140
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qдоп2 q 10 кН/м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда уравнение прогибов примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
0 |
z 8z3 |
|
|
z a |
|
12 z a 2 |
|
|
z l |
|
28 z l 3 |
|
|
10 z a 4 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6EI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2EI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6EI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24EI |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
В этом уравнении неизвестен угол поворота сечения 0 |
в начале ко- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ординат, который находим из граничного условия с 0 при z = l: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
0 0 4 |
8 43 |
|
|
12 4 2 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6EI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2EI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
8 43 |
|
|
|
15,33 103 |
|
|
5,36 10 3 |
рад. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6EI |
4 |
|
|
|
EI 4 |
|
|
|
2,86 106 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Запишем уравнение для прогибов и углов поворота с учетом 0 : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z 5,36 10 3 z |
8z3 |
|
|
|
|
z a |
|
12 z a 2 |
|
|
|
z l |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6EI |
|
|
|
|
|
|
|
2EI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 z l 3 |
|
|
|
10 z a |
4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6EI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24EI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 z a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
8z 2 |
|
|
|
|
z a |
|
|
|
|
|
z l |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
z z 5,36 10 |
|
|
|
|
|
2EI |
|
|
|
|
|
EI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 z l 2 |
|
|
|
|
|
10 z l 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6EI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдем прогибы, подставляя в формулу (1) значения z с интервалом 2 м: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
5,36 10 3 2 |
|
103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
23 |
6,99 10 3 |
м; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2,86 10 |
6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
103 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
12 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 5,36 10 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
0; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
5,22 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2,86 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
5,36 10 3 |
6 |
1 |
|
[ |
8 |
63 |
|
12 |
6 2 2 |
|
28 |
6 4 3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2860 6 |
|
2 |
|
6 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
6 4 4 ] 24,2 10 3 |
м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По полученным данным строим изогнутую ось (см. рис. 6.22).
Для определения угла поворота сечения D подставим в формулу (2) z = 6 м:
141