Добавил:

turbo1121 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петербургский государственный университет путей сообщения им. императора Александра I

Предмет:

Сопротивление материалов

Файл:

Задачник / Глава 06 (112-155)

.pdf

Скачиваний:

188

Добавлен:

20.12.2017

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Решение. Расчленяем заданную эпюру М на две более простые: М1 и М2 (рис. 6.6, в, г): М = М1 + М2. Исследуем эпюру М1: скачки соответствуют сосредоточенным внешним моментам m 1 = 30 кНм и m 2 = 15 кНм (рис. 6.6, д). В промежутке между ними эпюра М1 – прямая линия, следо-

вательно никаких нагрузок нет. На консоли эпюра М1			представлена квад-
ратной	параболой с экстремумом на конце. Это		означает, что при
z 0	dM1	Q 0 , т. е. на конце консоли нет сосредоточенной нагруз-

	dz	1

ки, а по ее длине действует только равномерно распределенная нагрузка q1, направленная сверху вниз, в сторону вогнутости эпюры М1.

Тогда момент выражается зависимостью
		q z2		27	q 32
M		1	;		1		,
	1	2				2

откуда q1 = 6 кН/м.

Эпюра Q на консоли очерчивается по уравнению:

Q1 q1 z .

Поперечная сила Q на левом участке (между опорами) определяется по тангенсу угла наклона эпюры М1 (рис. 6.6, е):

Q	dM1	tg 12 30 7	кН.
Q		tg 12 30 7	кН.
1	dz	6
	dz	6
Знак Q1 определяется знаком tg .
Эпюра М2 соответствует загружению, показанному на рис. 6.6, ж.
При таком загружении обе реакции на опорах равны			q2l	, а эпюра Q2 име-
При таком загружении обе реакции на опорах равны			2	, а эпюра Q2 име-
			2

ет вид, представленный на рисунке 6.6, з.

Чтобы найти q2, напишем выражение для поперечной силы на левом участке балки в заданном состоянии, т. е.

Q Q1 Q2 7 q22l q2 z .

При z = 4 м выражение для Q должно обратиться в ноль, так как при этом на эпюре М в исходном состоянии (рис. 6.6, б) достигается экстремум:

7 q22 6 q2 4 0,

122

l=6 м	а=3 м
а)	z

	y			Эп. М, кНм
					26	27
б)						12
	30			z0= 4 м	27 Эп. М1, кНм
в)					12	-
	30		+		q2l 2				z


г)					8	Эп. М2
г)
				30	15				q1
д)				30
д)
е)					Эп. Q1,кН
е)	7			-		7
						+
				q2	18
				q2
ж)
з)						Эп. Q2
q2l			-			Эп. Q2
q2l			-
	2				+	q			l
					+	q			l
							2
								2
и)					Эп. Q, кН
	28		-
			z0= 4 м			+
			z0= 4 м		14
						18
	m	2	30 кНм m 1 15 кНм
		2
к)				q2=7 кН/м		q = 6 кН/м
к)							1
			RA = 28 кН			R	B	= 4 кН
							B
				Рис. 6.6

123

отсюда q2 = 7 кН/м. Окончательная эпюра Q (рис. 6.6, и) получена как
сумма эпюр Q1 и Q2 (рис. 6.6, е, з), а исходная нагрузка (рис. 6.6, к) – как
сумма нагрузок (рис. 6.6, д, ж).
По величине скачков в эпюре Q (рис. 6.6, и) определяем опорные ре-
акции RA 28			кН,	RB 4 кН.
Для проверки правильности найденных усилий проектируем все си-
лы на ось y:					Y 18 42 28 4 0.
					Y 18 42 28 4 0.
		6.1.5 Подбор поперечных сечений балок
Пример 6.1.4. Для балки (рис. 6.7) по наибольшему изгибающему
моменту подобрать сечение (						160 МПа) в двух вариантах: 1) двутавр,
расположенный вертикально; 2) двутавр с горизонтальным расположением
стенки. Показать нерациональность второго решения.
Решение. Из уравнения равновесия находим опорные реакции:
			M A F 1 m q 2 3 RB 4
	24 1 48 16 2 3 4 RB 0 ; RB 6 кН;
			M B F 5 RA 4 q 2 1 m
	24 5 RA 4 16 2 1 48 0 ; RA 50 кН.
		m 48 кНм				Проверка:
F= 24 кНR =50 кН			q = 16 кН/м RВ= 6 кН			Y 0; F RA q 2 RB 0 ;
А
					z
					z
z1						24 50 16 2 6 0;
z1				z3
	z2			z3	z1	0 0.
	z2				z1	0 0.
y 1м	2 м		2 м			По аналитическим выражениям
	24	Эп. Q, кН				для Q и М строим эпюры (рис. 6.7).
-				-	6	I участок:
		+				0 z1 1 м, Q1 F 24 кН,
		+				M1 Fz1 24z1 ;
26			26		z0= 0,38 м
	Эп. М, кНм				z0= 0,38 м
24	Эп. М, кНм					II участок:
						II участок:
		20				1 z2 3 м,
	-	20	-
			-

		+	+ 1,12			Q2 F RA 24 50 26 кН,
						Q2 F RA 24 50 26 кН,
			28			M 2 Fz2 RA (z2 1)
						M 2 Fz2 RA (z2 1)
		Рис. 6.7				24z2 50(z2 1);
						24z2 50(z2 1);
124

III участок:

0 z3 2 м (справа), Q3 RB qz3 6 16z3 ;

M		R		z		q	z3	6z		16	z32	;
	3		B		3				3
						2				2

при

Q 0; Q

0; z

0,375 м;

M max 3 1,12 кНм.

Из условия прочности на изгиб получаем значение момента сопро-

тивления при

M max

= 28 кНм:

M max

28 103

175 10 6

м3

175 см3.

x тр

160 106

При вертикальном расположении двутавра по сортаменту ГОСТ

8239-89 принимаем двутавр № 20, Wx

= 184 см3:

max

28 10 3

152 МПа 160 МПа ;

max

184 10 6

недонапряжение

max 100

160 152

100 5 %;

160

ближайшее меньшее сечение I 18 , W 143см3 ,

при этом

max

28 10 3

195,8 МПа 160 МПа ,

max

143 10 6

перенапряжение составляет

195,8 160

100 22,4 %,

160

что недопустимо. Оставляем I 20.

Если двутавр расположить стенкой горизонтально, потребуется выбрать двутавр № 60, Wy = 182 см3.

Сравнивая эти подборы сечений, видим, что горизонтальное расположение двутавра совершенно нерационально, так как ведет к более чем пятикратному перерасходу металла:

q2 100 4,76 , q1 21

где q2 , q1 – масса погонного метра двутавров № 60 и № 20 в килограммах.

125

	Пример 6.1.5. По наибольшему изгибающему моменту подобрать се-
чение деревянной балки в двух вариантах: 1) круговое; 2) прямоугольное –
при h / b 2,			12 МПа (рис. 6.8).
				Решение. На эпюре изгибающих
RA	ql	28 кН	RВ=28 кН	моментов M max		28 кНм.
	8	q=14 кН/м		Тогда	требуемый				по	условиям
		q=14 кН/м		Тогда	требуемый				по	условиям
				прочности момент сопротивления се-
		l= 4 м		чения
		l= 4 м			M			28 103
		Эп. Q, кН	28	Wx тр	M	max		28 103
		Эп. Q, кН	-	Wx тр				12	106
			-					12	106
	+			2333 10 6 м3 2333 см3.
				2333 10 6 м3 2333 см3.
	28	Эп. М, кНм		1. Для сечения кругового очертания
		Эп. М, кНм		1. Для сечения кругового очертания
					Wx		d 3		,
		+			Wx		32		,
		ql 2					32
		ql 2		тогда
		8 28 кНм		32W			32 2333 10 6
				d 3	x 3
		Рис. 6.8						3,14
				28,75 10 2		м 28,75 см.

Принимаем d = 28,8 см.

Проверка:

M max

28 10 3 32

11,95 МПа .

max

d 3

3,14 0,2883

2. Для прямоугольного сечения

bh2

b(2b)2

b3 W

;

x тр

b 3

3 2333 10 6

15,18 10 2 м.

Принимаем b = 15,2 cм,

тогда h = 2b = 2 15,2 = 30,4 см.

Проверка:

	M max	28 103 6	28 103 6	10 6	11,96 МПа .
max				10 6
	Wx	bh2	15,2 30,4

Таким образом, оба сечения подобраны правильно.

126

6.1.6 Нормальные, касательные и главные напряжения при изгибе

Пример 6.1.6. Определить в опасном сечении балки I 22 (рис. 6.9) нормальные и касательные напряжения, а также величину и направление главных напряжений в точке D (рис. 6.10).

RА=15 кН		RВ=65 кН
	q = 10 кН/м		F = 40 кН
	q = 10 кН/м
m 20 кНм
	l = 4 м	а =1 м
z0=1,5м Эп. Q, кН
		25
		-
15 +		+
		40
	Эп. М, кНм	40
20	8,75
	8,75	-
		-
	Рис. 6.9

b			t
D		4
D		=-h/
8		=-h/	h=22 см
8		D
h/		y
		х
	d
	d
	y

Рис. 6.10

По сортаменту ГОСТ 8239-89 для двутавра № 22: I x 2552 см4, Sx 131 см3 (статический момент полусечения), b = 11 см, t = 0,87 см, d = 0,54 см, h = 22 см.

Решение. Определение реакций и построение эпюр М и Q произведено аналогично предыдущим задачам. Опасное сечение балки находится

правее опоры В, где M max 40 кНм,	Qmax 40 кН.
Вычислим и для точки D, находящейся на расстоянии h/4 от оси x:

			M	y		40 103 ( 5,5 10 2 )								86,2		106		Н/м 2		86,2 МПа;
	D		I x	y	D				2552 10 8					86,2		106		Н/м 2		86,2 МПа;
	D				D

		Q S			отс			40 103				122,83 10 6					6		2
D					D									35,7 10			6	Н/м	2	35,7 МПа.
D			I x b				2552			10 8 5,4 10 3				35,7 10				Н/м		35,7 МПа.
			I x b				2552			10 8 5,4 10 3
Здесь		S отс			S		d		h		h	131	222 0,54		122,83 см3.
Здесь		S отс			S	x	d					131			122,83 см3.
			D			x			4		8		32
									4		8		32

127

Определение главных напряжений:

гл 12 2 4 2 12 86,2 86,22 4 35,72 43,1 56,0;

			3					1	43,1 56,0 99,1 МПа;
			3								2 0;
											2 0;
1				35,7			МПа	3	43,1 56,0 12,9 МПа.
1				35,7			МПа	3	43,1 56,0 12,9 МПа.
				86,2 МПа					Угол наклона напряже-
								ния 1 по отношению к :
					19 45			ния 1 по отношению к :
					19 45					2			2 35,7
				1	1		99,1 МПа	tg2		2			2 35,7	0,828


												86,2
							12,9 МПа					86,2
							12,9 МПа
						3
												;
	3	90										;
	3							2 39			o				o
											o				o
												30 ; 19			45 .

Рис. 6.11

На рисунке 6.11 изображен элемент, «вырезанный» из фасада балки в точке D, в сечении чуть правее опоры В. На нем показаны главные площадки и напряжения.

Пример 6.1.7. Для чугунной балки (рис. 6.12) таврового сечения (рис. 6.13, а) построены эпюры Q и M. Необходимо в опасном сечении

балки построить эпюру нормальных , касательных и главных 1,3 напряжений и определить их направления.

0,2 м	F2=105 кН		RВ=30 кН
			RВ=30 кН
m 35 кНм	q = 30 кН/м
m 35 кНм
А
	2 м		МВ=14 кНм
			МВ=14 кНм
F1=135 кН			30
	Эп. Q, кН		30
	+ 24
135	129	Эп. М, кНм
135
	z0=1 м
	z0=1 м
35
	- 8,6	z0 = 0,38 м	14
	- 8,6	-
	+	1
	Рис. 6.12

128

Решение. В опасном сечении на конце консоли имеем M max 35 кНм, Qmax 135кН. Момент инерции таврового поперечного сечения (рис. 6.13) относительно центральной оси x I x 5280 см4. Вычислим напряжения в пяти точках, положение которых определяется соответствую-

щими ординатами y.

а)

y = 6 c

20 см
1
2
2
3	х	см
9	см	см
4	20	24
4
2 см

б)		20 см
		20 см
		1
4		2
		2	4
			4
	1
		3	х

13,5	4	cм
	4	18
		18
	9
	5
	2

Рис. 6.13

Точка 1:	My	35 10 3 y	6,629 102 y
		1

	I x	5280 10 8	1

6,629 102 ( 0,06) 39,78 МПа;

точка 2: 6,629 102 y2 6,629 102 ( 0,02) 13,26 МПа;

точка 3: 0; y3 0;

точка 4: 662,9 y4			662,9 0,09 59,66 МПа;
точка 5: 662,9 y5			662,9 0,18 119,32 МПа.
Эпюра изображена на рис. 6.14.
Вычислим касательные напряжения в точках.
	QS отс	135 10 3 S			102	S
Точка 1.	1		1	25,57		1	0 ;

	I xb1	5280 10 8 b1				0,2

S1 0 ; b1 – ширина верхней полки тавра.

129

Сечение	Вид с фасада		Эп. ,	Эп. ,		Эп. 1, 3 ,			Элементы, ограниченные
балки А	в опасном сечении		МПа	МПа			МПа		главными площадками
балки А	в опасном сечении								главными площадками
1			39,8				39,8
2			+	4,1	40,9			34,8			1
		13,3						34,8
								48,1
				44,44
3
3								41,4			1
	х						+	41,4		3	1
	х									3	3 1
				+
				+				3
								3
4	59,7			31,1			13,2 72,9
4	59,7

			-				1	-	3		1
			-					-			3
		119,3					119,3				3
		119,3					119,3
y
			Рис. 6.14
Точка 2. Чуть выше перехода от стенки к полке:
	25,57 102	S	2 25,57 102				320 10 6		4,09 МПа;
		b1						0,2
здесь S2 = 20 4 4 = 320 см3.
Точка 2. Чуть ниже перехода от стенки к полке:

25,57 102			S	2	25,57 102			320 10 6
				2						40,91		МПа;
			b2						0,02	40,91		МПа;
			b2						0,02
b2 – ширина стенки тавра.
Определим статические моменты для остальных точек:
S3 2 2 1 20 4 4 324 см3 (верхняя часть)
или S	3	2 18 9 324 см3					(нижняя часть);
	3
S4 2 9 13,5 243 см3;
S5 0 .
Точка 3. 25,57 102					S	3	25,57 102		324 10 6
						3					41,42		МПа.
					b3				0,02		41,42		МПа.
					b3				0,02
Точка 4. 25,57 102					S	4	25,57 102		243 10 6
						4					31,07		МПа.
					b4				0,02		31,07		МПа.
					b4				0,02
Точка 5. 0, т. к. S5 = 0.
Эпюра изображена на рисунке 6.14.
Верхняя часть эпюры						, относящаяся к величине касательных на-

пряжений в полке тавра, имеет условный вид, носит чисто теоретический

130

характер, так как в действительности в полке тавра не соблюдается гипотеза Д. И. Журавского о равномерном распределении по ширине сечения. Чтобы гипотеза была справедлива, высота сечения должна быть больше его ширины.

Вычислим величины и определим направления главных напряжений

вперечисленных выше пяти точках по формулам:

1,3 12 2 4 2 ;

																		tg2					2		.
																		tg2							.

		В точке 1 горизонтальная и вертикальная площадки свободны от ,
они и есть главные площадки, а главные напряжения
														1 = 39,78						МПа,					3 = 0 .
		В точке 2, чуть выше перехода стенки в полку,
				1		13,26																				13,26 15,58									6,63 7,79;
	1,3			1								13,262 4 4,092														13,26 15,58
												13,262 4 4,092
			2																												2
			2																												2
			14,42				МПа,									1,16 МПа,											tg2						2 4,09			0,6169;
		1	14,42				МПа,								3	1,16 МПа,											tg2						13,26			0,6169;
		1													3

													2					о									15		о
													2				31 40 ,										15			50 .
		В точке 2, чуть ниже перехода стенки в полку,
			1		13,26																						13,26 82,88								6,63 41,44;
1,3			1					13,262								4 40,912											13,26 82,88
1,3			2					13,262								4 40,912
			2																												2
			48,07				МПа,									34,81						МПа,					tg2							2 40,91			6,17 ;
		1	48,07				МПа,								3	34,81						МПа,					tg2										6,17 ;
		1													3																		13,26
																																	13,26
													2					о									40	о
													2				80 48 ,										40			24 .
											1			0										,
		Точка 3:					1,3				1							02 4 2														1	41,42 МПа ;
		Точка 3:																02 4 2															41,42 МПа ;
								2
								2
														3 41,42 МПа.
		Главные напряжения по величине совпадают с касательными:
						tg2								2 41,42					, 2 90о ,												45о .
						tg2													, 2 90о ,												45о .
															0
										1			59,66
		Точка 4: 1,3								1											59,662 4 31,072
		Точка 4: 1,3						2													59,662 4 31,072
								2
									59,66 86,14													29,83 43,07;
																2

131

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Задачник

#
20.12.2017663.81 Кб108Глава 01+введ (3-25).pdf
#
20.12.2017718.57 Кб195Глава 02 (26-44).pdf
#
20.12.20171.1 Mб98Глава 03 (45-80).pdf
#
20.12.2017772.12 Кб109Глава 04 (81-99).pdf
#
20.12.2017574.27 Кб126Глава 05 (100-111).pdf
#
20.12.20171.25 Mб188Глава 06 (112-155).pdf
#
20.12.20171.44 Mб127Глава 07(156-208).pdf
#
20.12.2017573.57 Кб87Глава 08 (209-222).pdf
#
20.12.20171.14 Mб124Глава 09 (223-253).pdf
#
20.12.20171.52 Mб117Глава 10 (254-297).pdf
#
20.12.2017749.61 Кб87Глава 11 (298-322).pdf