visshaya_matematika_chast_IV
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§4. Індивідуальне завдання 1.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4. |
Об’єм тетраедра V = 10 , три його вершини знаходяться в точках |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A(1; 2; −1) , B(4; 8; − 7) , C(−1; 2; − 2) . Знайтикоординатичетвертоїверши- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ни D, якщо відомо, що вона лежить на осі Oz. |
|
|
|
|
|
G |
|
|
G |
|
|
G |
G |
|
|
G |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5. |
Задано вектори |
G |
|
|
G G |
|
G G |
|
G |
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
= −2i |
+ j + k , |
b |
|
= i + 5 j |
, c |
4i |
+ 4 j |
− 2k . Об- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
числити |
|
|
G |
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
npG (3a − 2b) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
G |
Варіант №17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
G |
|
G |
G |
||||||||||||
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Задано вектори a, b, c , |
які задовольняють умову a + b |
+ c |
= 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
GG |
GG |
|
GG |
|
|
|
G |
|
= 5 , |
|
G |
|
|
|
= 2 , |
G |
|
|
= 7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Обчислити ab + ac |
+ bc , якщо |
|
a |
|
|
b |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2. |
|
|
Задано вектори |
G |
|
G |
G |
|
G |
|
|
|
G |
|
G |
+ |
|
G |
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
G |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
= 3i − j + 5k , |
b |
= i |
|
2 j |
− 3k |
. Знайти вектор x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
GG |
|
|
GG |
|
|
|
GG |
= 0 , |
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
за умови, що xa |
= 9 , xb = −4 , |
|
xk |
|
k = (0; 0; 1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3. Сила FG = 3iG+ 2 Gj − 4kG |
прикладенадоточки A(2; −1; 1) . Знайтимо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мент цієї сили відносно початку координат. |
|
|
|
|
|
G |
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4. |
Вектор |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, кутміжвекторами |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
c перпендикулярнийдовекторів a |
і b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
G |
G |
дорівнює |
30 |
0 |
|
|
GGG |
, якщо |
|
G |
|
= 6 , |
|
G |
|
= |
|
G |
|
|
= 3 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a і |
b |
|
. Знайти abc |
|
a |
|
|
b |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5. |
У тетраедрі об’ємом V = 12 |
|
з вершинами в точках |
A(1; 1; 1) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
B(2; |
0; 2) , C(2; |
2; |
|
2) , D(3; 4; − 3) знайти висоту h = DE . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
G |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
G |
, якщо |
G |
|
|
2 |
|
G |
2 |
= 110 , |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1. Знайти кут між векторами a і b |
(a − 2b) |
|
+ (3a − b) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
aG |
|
= 1, |
|
bG |
|
= 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
JJJG |
|
2. |
Упрямокутнику АВСD AB = 12 , |
BC = 9 . Знaйтидовжинувектора |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
JJJG |
|
|
JJJG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
OA + OB + AB , де О – точка перетину діагоналей прямокутника. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G G |
|
|
G |
зв’язані співвідношеннями |
|||||||||||||||||||||||||
aG = bG |
3. Три ненульових вектори a, b, c |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
× cG, bG = cG× |
aG, |
|
cG= aG× |
bG. Знайти довжини векторів aG, bG, cG та кут між |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ними. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JJJG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JJJG |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
(−3; 1; − 2) , |
= (2; 0; 1) , |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Знаючисторонитрикутника ABC AB |
|
|
BC |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JJJG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
знайти довжину висоти AD . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
5. |
Об’єм тетраедра V = 2 , |
три його вершини знаходяться в точках |
A(3; 2; 5) , B(2; 4; 1) , C(3; −10; 17) . Знайти координати четвертої вершини D, якщо відомо, що вона лежить на осі Ox.
|
62 |
|
|
|
|
|
Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
G |
G |
= 4 |
|
G |
|
|
G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1. Знайти кут між векторами a |
і b , якщо |
a |
|
b |
|
та вектор a |
− 2b |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перпендикулярний вектору a |
+ 5b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2. |
|
Знайти координати одиничного вектора, перпендикулярного век- |
||||||||||||||
торам aG(1; 1; 2) і bG(2; 1; 1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
G |
G |
3. |
Знайти |
площу паралелограма, сторонами якого є вектори |
||||||||||||||
|
G |
G |
|
G |
G |
G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
= i |
− 3 j |
+ k |
та b |
= 2i |
− j + 3k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4. |
Вершини тетраедра знаходяться в точках |
A(5; 1; − 4) , |
B(1; 2; −1) , |
|||||||||||||
C(3; 3; − 4) , |
D(2; 2; 2) . Знайти його об’єм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
5. |
Сила FG = 5iG+ 6 Gj − 7kG прикладена до точки A(1; 1; 1) . Визначити |
момент цієї сили відносно початку координат, а також напрямні косинуси моменту.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1. |
Знайти |
|
довжину векторів |
|
G |
G |
а також кут α між ними, якщо |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
і b , |
||||||||||||||||||||||||||
G G |
|
G |
G |
G |
|
G |
|
|
G |
|
|
= 2, |
|
G |
|
= 1 , ϕ = |
G |
G |
0 |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
a = e |
|
+ e , |
b = 3e |
− e , |
|
e |
|
|
|
e |
|
(e , e )= 60 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
G |
G |
G |
|
G |
|
|||
|
|
2. |
Визначити, при якому значенні |
λ |
вектори |
|
|
і |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
= 7i |
+ 8 j |
− λ k |
|||||||||||||||||||||||||
bG = λ iG− 2 Gj+ 3kG |
взаємно перпендикулярні. |
|
|
|
|
|
|
G |
G |
|
G |
||||||||||||||||||||
|
|
3. Знайтиплощупаралелограма, побудованогонавекторах |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
m = |
2a |
− b |
|||||||||||||||||||||||||||
G |
|
G |
|
G |
|
G |
|
= 2 , |
|
|
G |
|
= 3 |
, ϕ = |
|
G |
G |
120 |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
і n = |
5a − 8b , де |
|
a |
|
|
|
b |
|
|
(a ,b)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
4. |
Вершини тетраедра знаходяться в точках A(1; 2; 3) , |
B(−2; 4; 1) , |
|||||||||||||||||||||||||||
C(7; 6; 3) , |
D(4; − 3; −1) . Знайти об’єм тетраедра, площу грані ABC, висо- |
||||||||||||||||||||||||||||||
ту, яка опущена на грань ABC . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
5. |
Знайти найкоротшу відстань від точки A(3; 4; 2) |
до прямої, |
яка |
||||||||||||||||||||||||||
проходить через точку B(1; 2; |
3) паралельно вектору cG(6; 6; 7) . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1. |
Задано вектори |
aG(3; −1; 4) і bG(1; 2; − 6) . Знайти вектор cG |
, який |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
GG |
GG |
= −4 . |
|
|
|
||
перпендикулярний осі Oz та задовольняє умови ca = 9, |
cb |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2. |
Сила FG = iG− 5 Gj + 6kG |
прикладена до точки C(4; 2; 1) . Знайти мо- |
|||||||||||||||||||||||||||
мент цієї сили відносно точки |
A(1; 3; − 4) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§4. Індивідуальне завдання 1.4 |
63 |
|
|
|
3. |
Знайти площу S трикутника з вершинами в точках |
A(1; 2; −1) , |
|||||||
B(2; 4; 5) , C(3; − 2; −1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4. |
Вершини тетраедра знаходяться в точках |
A(1; 2; 3) , |
B(2; −1; 0) , |
||||||
C(3; 0; 2) , |
D(1; 1; 3) . Обчислити його об’єм, площу грані ABC та висоту |
|||||||||
тетраедра, опущену із вершини D. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
5. Два вектори aG(−7; 6; − 6) і bG(2; −1; 2) прикладені до однієї точки. |
|||||||||
Визначити координати вектора cG , напрямленого по бісектрисі кута між aG |
і |
|||||||||
bG, якщо | cG| = 2 66 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Вектори aG, bG, cG |
Варіант №22 |
|
|
|
|
|
||
|
1. |
одиничні; aG |
і bG утворюють кут 600 , а вектор cG |
|||||||
|
|
|
|
|
G |
G |
G |
|
|
|
їм перпендикулярний. Знайти довжину вектора a + b |
+ c . |
|
|
|
||||||
|
2. Задано три сили FG1 (2; −1; 1) , |
FG2 (3; 2; −1) , |
FG3 (−4; 1; 3) , прикладе- |
|||||||
ні до точки C(−1; 4; 2) . Визначити момент рівнодійної цих сил відносно |
||||||||||
точки A(2; 3; −1) . |
|
|
|
|
G |
G |
G |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
G |
3. Знайти площу S паралелограма, побудованогонавекторах a |
= 3m − n |
||||||||
G |
G |
G |
G |
G G |
0 |
. |
|
|
|
|
і b |
= m + 2n |
, якщо | m | = 1 , | n | = 2 , ϕ = (m , n)= 150 |
|
|
|
|
||||
|
4. |
Задано вершини піраміди |
A(4; − 2; 3) , |
B(3; 1; 5) , |
C(2; − 5; 1) , |
|||||
D(7; 3; 5) . Знайти об’єм піраміди, площу грані ABC та висоту піраміди, |
||||||||||
опущеної з вершини D. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5. |
У прямокутній трапеції діагоналі взаємно перпендикулярні, а від- |
ношення довжин основ дорівнює m : n (m > n) . Знайти величину гострого кута трапеції.
|
Варіант №23 |
G |
|
G |
G |
G |
G |
|
||
|
1. Знайти проекцію вектора |
G |
на вектор |
, якщо |
, |
|||||
bG |
a |
b |
a |
= i |
+ j |
− 2k |
||||
= 2iG− Gj − 2kG. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вектори aG, bG, cG мають рівні довжини та утворюють попарно рівні кути. Знайти координати вектора cG , якщо aG = iG + Gj , bG = Gj + kG.
3.Сила FG(3; 5; − 7) прикладена до точки M0 (5; − 3; 9) . Визначити момент цієї сили відносно точки A(4; −1; 8) .
4.Задановершинипіраміди ABCD: A(5; 3; 2) , B(4; −1; 4) , C(6; 4; 1) ,
D(3; 0; 4) . Знайти об’єм піраміди, площу грані ABC та висоту піраміди, опущеної з вершини D.
64Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія
5.Вектор aG, колінеарнийвектору bG = (−12; 16; 15) , утворюєзвіссюОy тупий кут. Знайти координати вектора aG, якщо відомо, що | aG | = 100 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №24 |
|
|
G |
G |
|
G |
||
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
G |
|
|
|
||||
|
|
Знайтипроекціювектора 2m − n навектор |
3m + 2n , якщо | m | = 2 , |
||||||||||||||||||
G |
|
G G |
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
| n | = |
3 , (m , n) = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2. |
Заданодвавектори aG(1; 0; 1) і bG(5; 2; 4) . Знайтиодиничнийвектор |
||||||||||||||||||
G |
, який лежить у площині векторів |
G |
G |
|
|
|
|
0 |
з векто- |
||||||||||||
e |
a |
і b та утворює кут ϕ = 45 |
|
||||||||||||||||||
ром aG . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
побудованого на векторах aG = pG − qG і |
|||||||||
G |
|
3. |
Знайти площу трикутника, |
||||||||||||||||||
G |
|
G |
|
G |
|
= 2 |
, |
|
G |
|
= 1 та ϕ = |
G G |
150 |
0 |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
b |
= p + 9q , якщо |
|
p |
|
|
q |
|
( p , q)= |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4. |
Об’єм тетраедра V = 2 , три його вершини знаходяться в точках |
||||||||||||||||||
A(1; 2; −1) , B(2; −1; 1) , |
C(−1; 2; − 2) . Знайти координати четвертої верши- |
ни D, якщо відомо, що вона лежить на осі Ox.
5. Знайтивеличинутупогокута, утвореногомедіанами, щопроведені із вершин гострих кутів рівнобедреного прямокутного трикутника.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №25 |
|
|
|
|
3kG і |
|
|
1. |
Знайти коефіцієнти α |
і β , якщо відомо, що вектори iG− 2α Gj+ |
||||||||||||||
3iG+12 Gj + β kG |
колінеарні. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
G G G |
лежать в одній площині та утворюють попарно |
|||||||||||||
|
2. Вектори a, b, c |
||||||||||||||||
один за одним кути 1200 . Розкласти вектор |
aG по векторах bG і |
cG , якщо |
|||||||||||||||
| aG | = 4 , | bG| = 3 , | cG | = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
G |
G |
||||||
|
3. Обчислитиплощутрикутника, побудованогонавекторах p |
= a |
− 5b |
||||||||||||||
G |
G |
G |
|
G |
|
|
|
G |
|
|
|
G G |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
і q |
= 5a − 6b |
, якщо |
a |
|
= 1 |
, |
b |
|
|
= 4 , ϕ = |
(a , b)= |
6 |
. |
|
|
||
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Задано вершини піраміди |
A(1; 2; − 3) , B(0; 1; 0) , C(3; 0; 0) , |
|||||||||||||||
D(1; − 4; |
2) . Знайти об’єм піраміди, площу грані ABC та висоту піраміди, |
||||||||||||||||
яка опущена з вершини D. |
|
|
|
|
|
|
|
5. Вопукломучотирикутнику сумаквадратівдвохпротилежних сторін дорівнює сумі квадратів двох інших протилежних сторін. Знайти величину кута між діагоналями чотирикутника.
§5. Індивідуальне завдання 1.5 |
65 |
|
|
§5. Індивідуальне завдання 1.5
Аналітична геометрія
[Ч.1, гл.2, §1, приклади 5 – 13]
Варіанти завдань
Варіант №1 1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку
M (−7; 5; − 6) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
а) паралельно вектору SG = 3iG + 5kG ; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
б) паралельно прямій 3x + 4 y − z − 3 = 0; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x + 2 y + 6z = 0. |
|
|
|||
|
|
|
2. Дослідити взаємне розташування прямої L і площини P. У випад- |
|||||||||||||||||||||
ку їх перетину у точці М, знайти координати цієї точки: |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
a) L : |
|
x − 3 |
= |
|
y − 2 |
= |
|
|
z + 5 |
, |
P : 5x + 5z − 4 = 0; |
|
|||||||||
|
|
|
|
−2 |
−5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
б) L : |
|
x +1 |
= |
|
y + 8 |
|
= |
z − 3 |
|
, |
P : 13x + 8y −11z +110 = 0; |
|
|||||||||
|
|
|
|
−13 |
|
6 |
|
|
−11 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
в) L : |
|
x − 2 |
= |
|
y + 5 |
|
= |
z |
, |
|
P : 5x + 4 y − 5z + 8 = 0. |
|
|||||||||
|
|
|
4 |
|
|
−3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3. Знайти радіус-вектор точки Q, яка симетрична точці P(2; −1; 2) |
|||||||||||||||||||||
відносно прямої, що проходить через точки A(1; 0; −1) і B(2; 0; − 3) . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4. Обчислити синус кута між прямою L : 3x − 2 y + z + 8 = 0 ; |
та пло- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y + 3z = 0 |
|
щиною P : 3y + z −1 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
5. Записати |
рівняння |
площини, яка |
проходить через |
пряму |
|||||||||||||||||
|
x +1 |
= |
y −1 |
|
= |
z |
|
перпендикулярно площині 3x − 2 y − z + 5 = 0. |
|
|||||||||||||||
|
3 |
|
−2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Обчислити відстань d між прямими:
x − 5 |
|
y + 6 z −1 |
|
x + 5 |
|
y +1 z |
||||||
|
= |
|
= |
|
|
і |
|
= |
|
= |
|
. |
1 |
−4 |
−1 |
|
2 |
−4 |
−1 |
7. Чи перетинаються задані прямі:
x − 3 |
= |
y + 2 |
= |
z + 6 |
і |
x − 4 |
= |
y + 8 |
= |
z + 2 |
? |
−5 |
|
−1 |
0 |
|
3 |
|
−2 |
|
−6 |
|
66 Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія
8. Задано чотири точки A(0; 0; 2) , B(−1; − 2; − 7) , C(−1; 2; − 5) і
D(7; − 2; − 5) . Скласти рівняння:
a) площини P, яка проходить через точки А, В, С; б) прямої АВ;
в) прямої DМ, що перпендикулярна до площини P; г) прямої CN, що паралельна прямій АВ;
д) площиниF, якапроходитьчерезточкуD перпендикулярнопрямійАВ. Обчислити:
е) косинус кута між координатною площиною Оху та площиною P.
Варіант №2 1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку
M (−3; 1; 6) :
а) паралельно вектору SG = −iG− 2 Gj − 3kG ;
б) паралельно прямій x + z −1 = 0;
3x + 3y + 5z + 2 = 0.
2. Дослідити взаємне розташування прямої L і площини P. У випадку їх перетину у точці М, знайти координати цієї точки:
a) L : |
x + 5 |
= |
|
y |
= |
|
z −1 |
|
, |
|
P : 3x − 4 y − z + 30 = 0; |
|||
1 |
0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
б) L : |
x −1 |
= |
|
y −14 |
= |
z +13 |
, |
P : x + 6y + 3z − 46 = 0; |
||||||
−3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
в) L : |
x + 5 |
|
= |
|
y |
= |
z + 4 |
, |
|
P : 5x + 4 y − z − 4 = 0. |
||||
|
−8 |
|
|
|
3 |
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
3. |
Знайти радіус-вектор точки Q, яка симетрична точці P(4; 3; 10) |
|||||||||||||||||||
відносно прямої, що проходить через точки A(1; 2; 3) |
і B(3; 6; 8) . |
|
||||||||||||||||||||
|
|
4. |
Обчислити синус кута між прямою L : 3x + 2 y − z +12 = 0; |
і пло- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x − y + z + 6 = 0 |
|
|||
щиною P : 3x + 3y − z −12 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
5. |
Записати |
рівняння площини, яка проходить через пряму |
||||||||||||||||||
|
x + 2 |
= |
y + 3 |
= |
z + 2 |
|
|
перпендикулярно площині x + 2y − z + 6 = 0. |
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
6. |
Обчислити відстань d між прямими: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
= |
y − 4 |
= |
z + 3 |
|
і |
x + 5 |
= |
y + 3 |
= |
z − 5 |
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
−1 |
|
|
1 |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
§5. Індивідуальне завдання 1.5 |
|
|
67 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. Чи перетинаються задані прямі: |
|
|
|
|
|||||||||
|
x −1 |
= |
y − 2 |
= |
z +1 |
і |
x − 3 |
= |
y + 3 |
= |
z + 2 |
? |
|
|
−2 |
|
|
|
1 |
−1 |
|
||||||
|
3 |
3 |
|
|
0 |
|
|||||||
8. Задано чотири точки A(3; − 3; 0) , |
B(−1; 0; − 3) , C(−2; 3; − 3) і |
D(1; − 8; 3) . Скласти рівняння:
a) площини P, яка проходить через точки А, В, С; б) прямої АВ;
в) прямої DМ, що перпендикулярна до площини P; г) прямої CN, що паралельна прямій АВ;
д) площиниF, якапроходитьчерезточкуD перпендикулярнопрямійАВ. Обчислити:
е) косинус кута між координатною площиною Оху та площиною P.
Варіант №3 1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку
M (6; 2; 8) :
а) паралельно вектору SG = −5iG− 8 Gj − 7kG ;
б) паралельно прямій |
x + z + 5 = 0; |
|
x − z − 2 = 0. |
2. Дослідити взаємне розташування прямої L і площини P. У випадку їх перетину у точці М, знайти координати цієї точки:
a) L : |
x |
= |
|
y + 5 |
= |
z + 2 |
, |
|
P : 2x − 5y − 2z − 21 = 0; |
||||||||
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
б) L : |
x −10 |
= |
|
y − 3 |
= |
z −10 |
, |
P : y − 3 = 0; |
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
в) L : |
x |
|
= |
|
y |
= |
z − 2 |
, |
|
|
|
P : 8x + 9 y +10z +11 = 0 . |
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
−1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Знайти радіус-вектор точки Q, яка симетрична точці P(0; 0; 4) |
||||||||
відносно прямої, що проходить через точки |
A(16; −15; 2) і B(−32; 17; 2) . |
||||||||||
|
|
4. Обчислити синус кута між прямою L : y + 5 = 0 ; |
і пло- |
||||||||
щиною P : |
y − z + 5 = 0 . |
4x + 2 y + 3z + 10 = |
0 |
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
5. |
Записати |
рівняння площини, |
яка проходить через |
пряму |
|||||
|
x + 5 |
= |
y + 3 |
= |
z + 3 |
|
перпендикулярно площині 2x + y + 2z +19 = 0 . |
|
|||
4 |
|
−5 |
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
68Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія
6.Обчислити відстань d між прямими:
|
|
x |
= |
|
y + 3 |
= |
|
y − 2 |
|
і |
x −1 |
= |
y −1 |
= |
z + 3 |
. |
|
|||||||||
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
−1 |
|
|||||||||||||
7. Чи перетинаються задані прямі: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x + 2 |
|
= |
y − 2 |
|
= |
z − 3 |
|
і |
|
x − 4 |
= |
y |
= |
z + 5 |
|
? |
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
−2 |
2 |
3 |
|
|
|
||||||||||||||
8. Задано чотири точки A(−2; 2; 3) , |
B(−4; 3; − 4) , C(0; − 3; − 6) і |
D(0; −1; 0) . Скласти рівняння:
a) площини P, яка проходить через точки А, В, С; б) прямої АВ;
в) прямої DМ, що перпендикулярна до площини P; г) прямої CN, що паралельна прямій АВ;
д) площиниF, якапроходитьчерезточкуD перпендикулярнопрямійАВ. Обчислити:
е) косинус кута між координатною площиною Оху та площиною P.
Варіант №4 1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку
M (0; 2; − 4) :
a) паралельно вектору SG = 2iG+ 7 Gj + 2kG;
б) паралельно прямій 2x − 3y = 0; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y − 2z +1 = 0. |
|
||||
2. Дослідити взаємне розташування прямої L і площини P. У випад- |
|||||||||||||||
ку їх перетину у точці М, знайти координати цієї точки: |
|
||||||||||||||
a) L : |
x + 4 |
= |
|
y +1 |
= |
|
z + 2 |
|
, |
P : y +14 = 0 ; |
|
||||
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
б) L : |
x − 4 |
= |
|
y + 9 |
= |
|
z + 8 |
, |
P : 2x + 3y −12z − 77 = 0 ; |
||||||
−15 |
14 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
в) L : |
x +1 |
= |
|
y + 2 |
= |
z +1 |
, |
P : 8x + y + 2z − 21 = 0 . |
|
||||||
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
3. Знайти радіус-вектор точкиQ, яка симетричнаточці P(0; 1; 2) від- |
|||||||||||||||
носно прямої, що проходить через точки A(1, 5; 0; 2) і B(3, 5; −1; 3) . |
|
||||||||||||||
4. Обчислити синус кута між прямою L : 2x + y + 2z + 3 = 0; |
і пло- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y − z − 2 = 0 |
|
щиною P : 2x + 5z − 4 = 0 .
|
|
|
|
|
|
|
§5. Індивідуальне завдання 1.5 |
69 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
5. Записати |
рівняння площини, яка проходить через |
пряму |
||||
|
x + 3 |
= |
y − 3 |
= |
z + 3 |
|
перпендикулярно площині 2x − 3y − 2z + 9 = 0 . |
|
3 |
4 |
−3 |
|
|||||
|
|
|
|
6. Обчислити відстань d між прямими:
|
x + 2 |
|
= |
y +1 |
= |
z − 2 |
і |
|
x + 5 |
|
= |
y −1 |
= |
z + 2 |
. |
||||||||||||||
|
−2 |
|
|
|
|
|
−10 |
|
−8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|||||||||||||||||
7. Чи перетинаються задані прямі: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
= |
|
y + 4 |
= |
z +1 |
|
і |
x + 2 |
= |
|
y −1 |
= |
|
z +1 |
? |
|
|||||||||||
|
4 |
|
3 |
|
0 |
|
|
4 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Задано чотириточки A(0; − 4; −1) , B(−6; −1; − 6) , C(−4; − 3; − 3) і
D(2; − 5; 4) . Скласти рівняння:
a) площини P, яка проходить через точки А, В, С; б) прямої АВ;
в) прямої DМ, що перпендикулярна до площини P; г) прямої CN, що паралельна прямій АВ;
д) площиниF, якапроходитьчерезточкуD перпендикулярнопрямійАВ. Обчислити:
е) косинус кута між координатною площиною Оху та площиною P.
Варіант №5 1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку
M (−8; 1; 2) :
а) паралельно вектору SG = 6iG+ 3 Gj ;
б) паралельно прямій 2x + 3y + 2z + 2 = 0;2x − 2 y + 2z + 3 = 0.
2. Дослідити взаємне розташування прямої L і площини P. У випадку їх перетину у точці М, знайти координати цієї точки:
a) L : |
x + 6 |
= |
y − 3 |
= |
z − 4 |
, |
|
P : 2x + y + 2z + 6 = 0 ; |
|||||||
−2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
б) L : |
x − 6 |
= |
y +15 |
= |
z − 4 |
, |
P : 2x + y + 2z − 5 = 0 ; |
||||||||
−1 |
0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
в) L : |
x |
= |
y − 2 |
= |
z + 2 |
, |
|
|
P : 7 y − 4z − 2 = 0 . |
||||||
0 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3. Знайти радіус-вектор точки Q, яка симетричнаточці P(0; 2; 1) відносно прямої, що проходить через точки A(4; −1; 2) і B(6; − 2; 5) .
|
|
70 |
|
|
|
|
|
|
Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
4. Обчислити синус кута між прямою L : |
2x + 3y + 2z −1 = 0; |
і пло- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 3y − z − 5 = 0 |
|
||||||
щиною P : 4x + y − 3z − 7 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
5. |
|
Записати |
рівняння площини, яка |
проходить через |
пряму |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
= |
y + 2 |
= |
z + 2 |
|
перпендикулярно площині 2x + y + 2z + 6 = 0 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
−4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
6. |
Обчислити відстань d між прямими: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
= |
y + 3 |
= |
z + 2 |
|
і |
|
x + 2 |
|
= |
y +1 |
|
= |
z +1 |
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
7. |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
−1 |
7 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Чи перетинаються задані прямі: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 4 |
= |
y |
|
= |
z +1 |
|
і |
|
|
x + 2 |
= |
|
y − 6 |
= |
z + 6 |
? |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
−1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
8. |
|
Задано чотири точки |
A(4; 0; −1) , |
B(4; 3; 0) , C(3; − 2; − 2) і |
D(−2; − 3; − 6) . Скласти рівняння:
a) площини P, яка проходить через точки А, В, С; б) прямої АВ;
в) прямої DМ, що перпендикулярна до площини P; г) прямої CN, що паралельна прямій АВ;
д) площиниF, якапроходитьчерезточкуD перпендикулярнопрямійАВ. Обчислити:
е) косинус кута між координатною площиною Оху та площиною P.
Варіант №6 1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку
M (−1; 3; 9) :
а) паралельно вектору SG = 2iG− 4 Gj + 7kG ;
б) паралельно прямій 2x + y + z −1 = 0;3x + 2 y + z − 2 = 0.
2. Дослідити взаємне розташування прямої L і площини P. У випадку їх перетину у точці М, знайти координати цієї точки:
a) L : |
x + 5 |
= |
|
y |
= |
|
z −1 |
|
, |
|
P : x − 4y + z + 30 = 0 ; |
||||
2 |
|
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
б ) L : |
|
x −1 |
= |
|
y + 4 |
= |
z +13 |
, |
P : x + 6 y − 3z −16 = 0 ; |
||||||
3 |
|
|
−2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|||||
в) L : |
x + 3 |
|
= |
|
y |
= |
z + 4 |
, |
|
P : x + 4y − z −14 = 0 . |
|||||
|
−2 |
|
3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|