Лекции по Матанализу ч1

Добавил:

neus500 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

5) Рациональная функция f (x)

непрерывна для всех значений

b xm b xm 1

.pdf

Скачиваний:

398

Добавлен:

24.07.2017

Размер:

1.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Пример неограниченной функции, которая неявляется бесконечно большой

f x x sin x - неограниченна при x , но lim x sin x не существует.

Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.

Теорема. Если f(x) б/б при x a (или x ) , то

является бескончно малой (обратное неверно)

Контрпример.

f x x2 sin		1	- б/м при x 0 , но функция
f x x2 sin		x	- б/м при x 0 , но функция
		x
g x	1		1

	f x		x2 sin	1
			x2 sin	x
				x

не является б/б т.к. при x 0 , не определена в точках x 1n

lim	1		не существует

		1
x 0 x2 sin		1
x 0 x2 sin		x
		x

y x	1	0	x a т.е.,
	f (x)

и следовательно

Замечание. Для того, чтобы утверждение последней тероемы было верным, необходимо потребовать, чтобы б/м не обращалась в нуль.

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть

x , x и

x –

бесконечно малые функции

при

x a . Будем

обозначать эти функции ,

соответственно. Эти бесконечно малые функции можно

сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

Например, функция

f x x10 стремится к нулю быстрее,

чем функция g x x .

Определение. Если

lim

0 ,

то функция называется бесконечно малой более

x a

высокого порядка, чем функция . Обозначается x o x ,

x a

Определение. Если lim

A 0,

A const , то и называются бесконечно

x a

малыми одного порядка. Обозначается x x ,

x a

Определение. Если

lim

то

функции

и называются

эквивалентными

x a

бесконечно малыми. Записывают x ~ x ,

x a .

Пример. Сравним бесконечно малые при x 0 функции

f x x10

и g x x .

lim

x10

lim x9 0

f x x10 –

x 0

g x x , т.е

т.е. функция

бесконечно

малая

более

высокого

порядка,

чем

f x o g x ,

x 0

Определение. Бесконечно малая функция называется бесконечно малой порядка

k относительно бесконечно малой функции

, если предел lim

конечен и отличен от

x a

нуля.

Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать

между собой. Например, если отношение не имеет предела, то функции несравнимы.

Пример. Если x sin x,			x , то при	x 0 lim	lim	x sin x	1, т.е. функция

				x 0 2	x 0	x2
- бесконечно малая порядка 2 относительно функции .
Пример. Если x sin	1	,	x , то при	x 0 lim	не существует, т.е. функция

	x			x 0

и несравнимы.

Свойства эквивалентных бесконечно малых.

1) ~ x a ,
1) ~ x a ,	lim	1
	x a

x a , то ~

x a ,

2) Если ~ , ~

lim

x a

3) Если ~ , то ~ ,

lim

x a

4) Если ~ и ~ и lim k , то и lim 1

или lim lim 1 .

x a

Следствие: а) если a ~ 1

и lim

k , то и lim

lim

x a

б) если ~

и lim k

, то lim

lim

x a

Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.

5) Если и

- бесконечно малые при

x a , причем

- бесконечно малая более

высокого порядка,

чем , то

- бесконечно малая, эквивалентная . Это можно

доказать следующим равенством lim

lim 1

x a

Тогда говорят, что - главная часть бесконечно малой функции .

Следствие. Если и

- эквивалентные бесконечно малые при

x a , то тогда их

разность есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с

или

Пример.

Функция f x x2

– бесконечно малая при

x 0 ,

– главная часть

этой функции. Чтобы показать это, запишем x2 , x , тогда

lim

lim(x 1) 1.

x 0

Основные эквивалентности

1. sin x ~ x

x 0 . Доказательство следует из теоремы

о первом

замечательном

пределе. Отсюда в частности следует, что

А) sin kx ~ kx

x 0

Б) sin kx ~ tgkx ~ kx

x 0

Докажем, что 1 cos x ~

. В самом деле

1 cos x

2sin 2

lim

2 lim

4 lim

x2 2

x 0

Упражнение: Доказать, что tgx sin x ~

x 0

2. ln 1 x ~ x

x 0 . Следует из третьего замечательного предела

3. 1 x m 1 ~ mx x 0

Упражнение: Доказать, что 1 x m 1 mx ~ m m 1

x 0

4. a x 1 ~ x ln a

Замечание. Во всех рассмотренных случаях

переменную x

можно заменить

бесконечно малой функцией, например:

sin x ~

x ,

x a

где x

б/м

x a

Примеры

Пример. Найти предел lim

tg5x

sin 7x

x 0

Так как tg5x ~ 5x

и sin 7x ~ 7x

при

x 0 ,

то, заменив функции эквивалентными

бесконечно малыми, получим:

lim

tg5x

lim

x 0

sin 7x

x 0

Пример. Найти предел lim

x 0

1 cos x

Так как 1 cos x 2sin

x 0 ,

lim

lim 2x 0 .

~ 2

при

то lim

0 1 cos x

x 0

Пример. Найти предел lim

tgx

lim

sin x2

x 0

Пример. Найти предел.

lim

tgmx

lim

x 0

sin nx

x 0

Пример. Найти предел.

lim

tgx tgx0

lim

sin(x x0 )

lim

sin(x x0 )

lim

x x

(x x

x x0

) cos x cos x

x x0

x x

x x0 cos x cos x

cos2 x

Пример. Найти предел.

sin( / 4 x)

sin x cos x

sin( / 4 x)

lim

x / 4

x / 4 2 2( / 4 x)

2 2

Пример. Найти предел.

y / 2 x

cos( / 2 y)

cos x

sin y

lim

/ 2 y

lim

2 y

x / 2

2 y

y 0

Пример. Найти предел.

x 3

x 1 4 x 3

y x 1

y 4

lim

x x 1

x 1

lim 1

4 z

lim

lim 1

Пример. Найти предел

lim

6x 8

x 2 x2

8x 12

Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.

x2 6x 8 0

x2 8x 12 0

D 36 32 4

D 64 48 16

6 2

8 4

6 2

8 4

Тогда lim

(x 2)(x 4)

lim

x 4

x 2

(x 2)(x 6)

x 2

x 6

Пример. Найти предел.

lim

1 x x2 1 x x2

x2 x

x 0

Домножим

числитель

знаменатель дроби на сопряженное выражение:

lim

1 x x2 1 x x2

lim

x 0 x(x 1)(

1 x x2

1 x x2 )

x 0 x(x 1)( 1 x x2

1 x x2 )

1 .

1 (1 1)

Пример. Найти предел.

lim

x2 5x 6

x2 5x 6 (x 2)(x 3) lim

(x 2)(x 3)

3 2

(x 3)(x 3)

x 3

x2 9

x 3

3 3

Пример. Найти предел

lim

x3 6x2

11x 6

x2 3x

x 1

Разложим числитель и знаменатель на множители.

x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)

x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3),

Тогда lim

(x 1)(x 2)(x 3)

(x 1)(x 2)

x 1

Пример. Найти предел.

2 sin

2a 2h

cos

2 sin(a h)

sin(a 2h) 2 sin(a h) sin a

lim

h 0

lim

2 sin(a h)(cosh 1)

2 lim sin(a h) lim

2 sin2 (h / 2)

2 sin a ( 1 / 2)

sin a

4(h / 2)2

h 0

Для самостоятельного решения:

lim

2x4 2x2 5x 6

x3 2x2 7x

lim

(2x3 4x 5)(x2

x 1)

(x 2)(x4 2x3

7x2 x 1)

lim

2 7x 10

x2 8x 12

x 2

lim

4 x x2

x 1

lim

1 x sin x 1

x 0

lim

1 x

x 0

1 x x2 7 2x x2

lim

x2 2x

x 2

lim

x3 2x2 4x 8

- не определен.

3x4 16x3 24x2

x 2

Непрерывность функции в точке.

Определение. Функция f x , определенная в окрестности некоторой точки х0,

называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

lim f (x) f (x0 )

x x0


или если для любого положительного числа			0 существует такое число 0 , что для
любых x , удовлетворяющих условию	x x0		верно неравенство	f (x) f (x0 )	.

Тот же факт можно записать иначе:		lim f (x) f ( lim x)
Определение. Если функция f x		x x0	x x0
		определена в некоторой окрестности точки x0 , но

не является непрерывной в самой точке x0 , то она называется разрывной функцией, а точка

x0 – точкой разрыва.	Функция f x называется
Эквивалентное определение непрерывности.

непрерывной в точке x x0 , если приращение функции в точке х0 является бесконечно

малой величиной.

f x f x0 x

где x – бесконечно малая при x x0 .

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

Если односторонний предел (см. выше) lim f (x) f (x0 ) , то функция называется

x x 0

непрерывной справа.

Если односторонний предел (см. выше) lim f (x) f (x0 ) , то функция называется

x x 0

непрерывной слева.

Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция, непрерывная в точке x0 .

2) Частное двух непрерывных функций	f (x)	– есть непрерывная функция при
	g(x)

условии, что g x не равна нулю в точке x0 .

3) Теорема о сохранении знака неравенства. Если f x непрерывна в точке x0 и

f x0 A , то существует число 0 такое что f x A x O x0

4) Теорема об устойчивости знака непрерывной функции. Если f x непрерывна

в точке x0 и f x0 0 , то существует число 0 такое что		f x не обращается в нуль и
сохраняет свой знак x O x0
Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя
теоремы о пределах.
Непрерывность некоторых элементарных функций.
1) Функция f x C ,	C const – непрерывная	функция на всей области

определения.

2)Линейная функция – непрерывная функция на всей области определения. Доказательство: Пусть x x0 - произвольная точка, тогда

kx b kx0 b kx kx0 k x x0 k

Следовательно, при

неравенство

f x f x0

будет выполнятся для

x x0

, а это означает, что линейная функция

любых x , удовлетворяющих неравенству

непрерывна в точке x x0 . Так как эта точка была выбрана произвольно, получаем. Что линейная функция непрерывна на всей числовой оси.

3)Степенная функция – непрерывная функция на всей области определения.

4)Полином – непрерывная функция на всей области определения.

х, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, функция этого вида непрерывна на всей области определения.

6) Тригонометрические функции непрерывны на своей области определения. Докажем свойство 3 для функции y sin x .

Запишем приращение функции y sin x x sin x , или после преобразования:

y 2 cos x

sin

lim y 2 lim cos x

sin

x 0

Действительно, имеется предел произведения двух функций

и sin

cos x

При этом функция косинус –

ограниченная функция при

x 0

1, а т.к.

cos x

предел функции синус lim sin x 0 , то она является бесконечно малой при x 0 .

x 0

Таким образом, имеется произведение ограниченной функции на бесконечно малую,

следовательно это произведение, т.е. функция

–

бесконечно малая. В соответствии с

рассмотренными выше определениями, функция

y sin x

– непрерывная

функция

для

любого значения x x0 из области определения, т.к. ее приращение в этой точке –

бесконечно малая величина.

Аналогично можно доказать непрерывность остальных тригонометрических функций на всей области определения.

Вообще следует заметить, что все основные элементарные функции непрерывны на всей своей области определения.

Точки разрыва и их классификация.

Рассмотрим некоторую функцию f x , непрерывную в окрестности точки x0 , за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что x x0 является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Напомним, что точка x0 называется точкой разрыва функции f x , если f x не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.

Определение. Точка x0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

lim	f (x) lim f (x)
x x0 0	x x0 0

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке x x0 , достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.

Определение. Точка x0		называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке
функция f x не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них
бесконечен.
Пример. Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий
математик, членкорреспондент Петербургской АН 1837г)
		1,	x рациональное число
		f (x)	x иррациональное число
		0,	x иррациональное число
не является непрерывной в любой точке x0 .
Пример. Функция f(x) =		1 имеет в точке x 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.
		х			0
		х
lim f (x) ;	lim f (x) .
x 0 0	x 0 0
			7.5
			5
			2.5
	-10	-5				5	10
			-2.5
			-5
			-7.5
Пример.	f x sin x
	x
Функция не определена в точке x 0 ,				но имеет в ней конечный предел lim f (x) 1,
							x 0
т.е. в точке x 0 функция имеет точку разрыва 1 – го рода. Это – устранимая точка разрыва,
т.к. если доопределить функцию:
		sin x		,	при	x 0
				,	при	x 0
		f (x)	x
		1,	при		x 0

График этой функции:
			1
		0. 8
		0. 6
		0. 4
		0. 2

- 20		- 10		10	20
				- 0. 2
	x			x 0
Пример. f x		1,	при	x 0
Пример. f x		=
	x	1,	при	x 0

Эта функция также обозначается sign x – знак x . В точке x 0 функция не определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва – 1 – го рода. Если доопределить функцию в точке x 0 , положив f 0 1, то функция будет непрерывна справа, если положить f 0 1, то функция будет непрерывной слева, если положить f(x)

равное какомулибо числу, отличному от 1 или –1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа, но во всех случаях тем не менее будет иметь в точке x 0 разрыв 1 – го рода. В этом примере точка разрыва 1 – го рода не является устранимой.

Таким образом, для того, чтобы точка разрыва 1 – го рода была устранимой, необходимо, чтобы односторонние пределы справа и слева были конечны и равны, а функция была бы в этой точке не определена.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва,

если они есть.
x 4,			x 1
	2	2,	1 x 1
f (x) x		2,	1 x 1
2x,			x 1

lim	f (x) 3	lim	f (x) 3
x 1 0		x 1 0
lim	f (x) 3	lim	f (x) 2
x 1 0		x 1 0
в точке х = -1 функция непрерывна,		в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

cos x,		x 0	lim	f (x) 1	lim	f (x) 2

	1,	0 x 1	x 0 0		x 1 0
f (x) x 2				f (x) 1		f (x) 1
		x 1	lim		lim
x,			x 0 0		x 1 0

в точке х = 0 функция непрерывна, в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

Замечание. Монотонная возрастающая или убывающая функция может иметь в области определения лишь разрывы первого рода.

Асимптоты.

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции

y x e	x
y x e	3 sin x . Ее наклонная асимптота		y x .
			10
			5
	- 10	- 5	5	10
			- 5
			- 10
			- 15
			- 20
Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.

Вертикальные асимптоты.

Из определения асимптоты следует,		что если lim f (x) или	lim f (x) или
		x a 0	x a 0
lim f (x) , то прямая x a – асимптота кривой y f x .
x a
2
Например, для функции f (x)		прямая x 5 является вертикальной асимптотой.
	x 5

Наклонные асимптоты.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
24.07.201785.64 Кб18Вопросы для студентов вечернего отделения от кафедры 311.pdf
#
24.07.20171.19 Mб144Лекции по Матанализу ч.3.pdf
#
24.07.20171.89 Mб398Лекции по Матанализу ч1.pdf
#
24.07.20171.2 Mб149Лекции по Матанализу ч2.pdf
#
24.07.2017166.23 Кб106Матанализ Вопросы 1 курс 1 семестр.pdf
#
24.07.2017129.01 Кб42Некоторые задачи для вечернего отделения третьего факультета от каф 311.pdf