Лекции по Матанализу ч1

Добавил:

neus500 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

(k 1)! n k ! k

.pdf

Скачиваний:

397

Добавлен:

24.07.2017

Размер:

1.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Ck , n 1

1) 1 A , т.к. (a b)1 C0 a C1b
1	1
		n
2) Пусть n A , т.е. на этом множестве выполняется формула		(a b)n C k an k bk ,
		k 0	n
		k 0

докажем что на этом множестве выполняется формула для “n+1”, тем самым докажем, что

N A

a b n 1 a b a b n
a b C0an C1an 1b C2an 2b2				... Ck an kbk ... Cn 1abn 1				Cnbn
	n	n	n		n	n		n
C0an 1	anb C1	C0 ... an k 1bk Ck Ck 1 ... a2bn 1 Cn 1					Cn 2
n	n	n		n	n	n		n
abn Cn	Cn 1 Cnbn 1.
n	n	n
Биномиальные коэффициенты обладают следующими свойствами:
		Ck Cn k ,		Ck Ck 1		Ck
		n	n	n	n	n 1

Ck Ck 1

k! n k !

1)! n k 1 !

n!(n 1)

(n 1)!

(k 1)! n k !(n k 1)k

(n k 1)!k!

Тогда

n 1

(a b)n 1 Cn0 1an 1 Cn1 1anb ... Cnk 1an k 1bk ... Cnn 1abn Cnn 11bn 1 Cnk 1an k 1bk . k 0

т.к. n 1 A и n N A N , поэтому формула бинома Ньютона истинна.

Абсолютная величина числа (модуль числа)

Определение. x R		x, если x 0
Определение. x R	x	:
		x, если x 0

График функции y x .

x 0

x x 0

1) x R

0 и

0 x 0

2) x, y R

x y

Доказательство:

Если x y 0 ,

то либо

x 0 либо y 0

x y

. Пусть

x y 0 , если

x y 0 , то х и у - одного знака.

, если же x y 0 , то х и у - разных

знаков.

эквивалентно двойному неравенству x .

3) 0 неравенство

Доказательство:

По определению:

Поэтому

т.е.

И обратно,

пусть

x .

Тогда, если x 0 ,

то

x . Если же x 0 ,

то

x (т.к. x ). Следовательно,

Неравенство

треугольника

x, y

имеет место

неравенство

x y

Доказательство

x y

По определению:

Согласно свойству (3):

x y

Замечание.

x, y имеет место неравенство

x y

Доказательство

y x y

x y

но

тогда

x y

(*).

x y x

x y

откуда получаем

x y

(**). Из (*)

и (**)

следует

x y

x1, x2, , xn

Замечание.

а)

x1 x2 xn

б)

x1 x2 xn

Имеют место

доказать самостоятельно!!!

Теорема о существовании целой части числа.


Теорема . x R,	такое p Z , что выполнены неравенства:				p x p 1
Доказательство:	Рассмотрим	\|x\|.	Согласно	принципу		Архимеда

n N, n x n x n .

Рассмотрим подмножество N: A n; n 1; 1; 0;1; 2; ...; n 1; n

1)	Если x	- целое число, то	p A такое что p x p 1 x , т.е. выполнено
условие
				p x p 1
2)	Если x	не целое, тогда если x n 1, то p n 1, если же x n 1, тогда сравним
x и n 2 …и после конечного числа шагов найдем такое число p , что p x p 1.
Определение 1. Целое число			p	удовлетворяющее условию Теоремы называется
целой частью числа x R и обозначается				p x .
График функции y x .

Верхняя и нижняя грани числовых множеств

Определение

Множество

A R

называется

ограниченным

снизу,

если

x A, a R : x a , а – нижняя грань множества А.

Определение

Множество

A R

называется ограниченным

сверху,

если

x A, b R : x b , b – верхняя грань множества В.

Определение

Множество

A R

называется

ограниченным,

если оно

ограниченно

снизу и сверху, т.е.

x A, a, b R : a x b

или, что

тоже

самое

x A, M 0, M :

Замечание.

В записи:

а)

x A :

следует подразумевать:

“Для

любого

элемента

x A

имеет

место

предложение ”

б) - утверждение является определением .

Определение 4.

inf A (infinum

низшее,

латинское) -

точная нижняя грань

множества A , если

наибольшая из всех нижних граней.

или (эквивалентное определение)

Df :

inf A

а) x A

б)

0, x A

: x или

x A : x

Определение 5. sup A (supremum – высшее, латинское) - точная верхняя грань

наименьшая из всех верхних граней

множества A , если

Или (эквивалентное определение)

sup A

если

а) x A

б)

0, x A

: x или

x A : x

Теорема

(Вейерштрасса). Всякое ограниченное сверху (снизу)

множество

A R

обладает

точной

верхней

(нижней)

гранью

или

A R

ограниченного

sup A

inf A .

Доказательство.

Пусть непустое множество

A ограничено сверху.

Следовательно,

существует непустое множество B - множество верхних границ, такое что

x A и y B : x y

Тогда,

силу

аксиомы

полноты

: x y . Точка

этом случае

принадлежит множеству B так как x . С другой стороны эта точка минимальная из B , так как y . Следовательно, sup A .

Теорема. (Принцип Архимеда) a R,	n N : n a.
Иными словами, утверждается, что	не существует наибольшего натурального

числа.

Доказательство. (От противного). Предположим, что

a R : n N, n a N 0

и ограничено сверху числом , т.е. B sup N . Тогда

B B, B B 1 n N : n B B 1, n 1 B, n 1 N !

Полученное противоречие показывает, что множество N неограниченно, т.е. не наибольшего натурального числа.

Лемма о вложенных отрезках

Рассмотрим множество отрезков n , где n R .

Определение. Система отрезков n называется системой вложенных отрезков,

если первый отрезок содержит второй, второй – третий,…, т.е. 1							2 ... n		n 1 ...
Лемма Коши-Кантора. Каждая система вложенных отрезков имеет непустое
пересечение.										n ,
Доказательство. Рассмотрим последовательность вложенных								отрезков		n ,	где
n an,bn .	Т.к. отрезки вложены, то			an an 1 bn 1 bn .
Рассмотрим два		множества A an , B bn ,				A , B .		Докажем,		что	эти
множества удовлетворяют условиям аксиомы полноты.
Рассмотрим an A и bm B положим p max m, n ,							тогда an ap bp bm
an bm .
Итак доказано, что			A и B - удовлетворяют аксиоме полноты, т.е. c R ,							такое что
an c bm	an A	и	bm B		an c bn ,	n ,	т.е.	c n	n ,		или

c n n 0 . n n

Замечание. Лемма не имеет места для системы вложенных интервалов.

Доказательство.

принципу Архимеда n0 N, n0

Получаем противоречие,

верно.

0				1		1		1					1

				4		3		2
				4		3		2
									0 a		1			1	0 . Согласно
a J				, n N , т.е.					0 a		1	(*) n N ,		1	0 . Согласно
			n								n			a
											n			a
	1	, но a			1		, т.к. n			N и (*).
		, но a					, т.к. n		0	N и (*).
	a					n0			0
	a					n0

возникшее из предположения. Следовательно, утверждение

Метрические и арифметические пространства.

Для получения содержательных результатов в математическом анализе необходимо введение понятия расстояния между точками множества (метриками).

Определение. Множество Х называется метрическим пространством, если x, y X поставлено в соответствие число x, y причем:

1)x, y 0 x, y X ; x, y 0 x y

2)x, y y, x - аксиома симметрии.

3)x, y, z X , x, y x, z z, y - аксиома треугольникаx, y расстояние между элементами x и y X .

x, y - метрика.

Пример. - множество точек на плоскости.

метрическое пространство с

расстоянием x, y

x y

Частным случаем метрического пространства является арифметическое

пространство.

Определение. "n" - мерными арифметическим пространством n будем называть

множество

упорядоченных

совокупностей

из

"n"

действительных

чисел:

x x1, x2, , xn n с метрикой x, y

xi yi 2 ;

i 1

Можно показать, что все аксиомы расстояния выполняются.

Частные случаи.

1.1 - множество действительных чисел (совокупность точек на действительной оси), числовая прямая x, y x y 2 x y

2.2 - совокупность точек с координатами x1 и x2 , т.е. x x1, x2 2 . При

этом x, y 2	x, y	x	y	2 x	y	2
		1	1	2	2

3.3 - множество точек в пространстве с координатами x1 , x2 и x3

(трехмерное	арифметическое				пространство),	т.е.	x x , x , x			3 ,
							1	2	3
x, y x y		2 x y	2	2 x y 2 .
1	1	2	2	3	3
Открытые, замкнутые и компактные множества
Определение.	-окрестностью точки a R n называется множество точек									x R n
таких, что x, a . Обозначим ее U a					.

	Замечание. В случае функции двух переменных окрестностью точки M 0 x0 , y0
радиуса r называется совокупность всех точек			x, y , которые удовлетворяют условию
		r
	x x0 2 y y0 2
	Определение. Пусть a A R n . Тогда a		называется внутренней точкой этого
множества, если 0 :U a A.

Определение. E R n - открытое множество, если все его точки - внутренние. Примеры: интервал, круг без границы.

Определение. Пусть A R n . Точка	a R n называется предельной точкой A , если
0 U a A .

Определение. F R n называется замкнутым множеством, если оно содержит все свои предельные точки.

Примеры: отрезок, круг с границей.

Замечание. Часто вместо «круглых» окрестностей рассматривают «прямоугольные»,

т.е. x : xi ai , i 1,..., n .

Легко видеть, что каждую «круглую» окрестность можно вписать в «прямоугольную» и наоборот.

Определение. Система множеств S Gn n A N		является покрытием множества A
(покрывает множество A ), если A	Gn . Система S является подсистемой системы S ,
	n A N
если она состоит из множеств, принадлежащих S .
Определение. Множество K называется компактным, если из любой бесконечной
системы открытых множеств S Gn n A N такой, что		K Gn можно выбрать конечное
		n
число n1,..., nm так, что K Gn ... Gn .
1	m
Иными словами, из любого	открытого покрытия K можно выделить конечное
подпокрытие.
	16

Лемма Бореля-Лебега. Из любой системы интервалов S Gn n A N , G			a ,b ,
покрывающей отрезок A a,b	Gn можно выделить конечную		систему,
	n A N
покрывающую этот отрезок.			A a,b .
Доказательство. От противного. Пусть		конечного покрытия множества

Делим его пополам. Пусть, одна из половинок не допускает конечного покрытия. Обозначим

её A1 . Продолжим процесс деления.

Получившиеся отрезки обозначим

A1, A2 , , An , .

Примем длину отрезка A равной c , т.е.

c , тогда

, ,

Построенная система отрезков является вложенной

Ak 1 Ak k ,

стягивающейся в

точку и при этом отрезок Ak не допускает конечного подпокрытия.

По Лемме о вложенных отрезках

!x Ak ,

x A

k 1

Следовательно, существует интервал Gn an ,bn S в котором содержится точка x .

Положим min a x, x b .

Существует

число

такое, что

Ak ak ,bk

Следовательно,

тогда

отрезок

Ak допускает конечное

подпокрытие.

Полученное противоречие доказывает лемму.

Из Леммы Бореля-Лебега следует, что отрезок a,b является компактом. Имеет место

и более общее утверждение.

Теорема.

K R n компактно тогда и только тогда,

когда оно ограниченное (т.е.

содержится в некотором шаре с центром в начале координат) и замкнутое (без доказательства).

Лемма Больцано-Вейерштасса. Любое ограниченное, бесконечное числовое множество A R имеет предельную точку.

Доказательство. От противного. Так как A ограничено, то a,b A . Пусть не существует предельной точки, т.е. y a,b не является предельной. Тогда существует окрестность O y , которая содержит лишь конечное число точек множества A . Построим

систему окрестностей S O y которая будет покрывать отрезок a,b . Из этой системы

можно выделить конечное подпокрытие, такое что

					N
			A a,b O yk
					k 1
Последнее содержит			конечное число	точек множества A , что				противоречит
бесконечности множества A .
			Определение функции
Определение.		Пусть	D — некоторое		множество	чисел. Если задан закон, по
которому	каждому	числу x	из множества	D	ставится	в	соответствие	единственное
определенное число		y , то будем говорить, что на множестве					D задана функция, которую
назовём	f . Число y — это значение функции				f в точке	x , что обозначается формулой
y f x .

Число x называется аргументом функции, множество D — областью определения функции, а все значения y образуют множество E , которое называется множеством

значений или областью изменения функции.

Замечание. Данное определение является определением функции одной переменной. Общее определение функции, которая может зависеть от нескольких аргументов будет дано

позже.

Определение. Функция

называется

возрастающей

(убывающей) на множестве

G D , если для любых чисел

и x2 из множества G , таких что

x1 x2 , выполняется

условие f x1 f x2 ( f x1 f x2 ).

Определение. Функция

f x

называется ограниченной снизу (сверху), если

существует такое число

m M , что для всех значений

из области определения

имеет место неравенство

f x m ( f x M ).

Определение. Функция

f x

называется

ограниченной,

если

она ограничена

сверху и снизу, т.е. существуют числа

m и M такие, что имеет место

m f x M .

Определение. Функция

f x

называется четной (нечетной), если:

1. Область определения

функции симметрична относительно начала координат.

2. Для любого значения

x X

выполняется равенство

f x f x ( f x f

x ).

Замечание. График четной функции обладает осевой симметрией относительно оси

OY , а график нечетной функции

центральной симметрией

относительно

начала

координат.

Примеры.

Четные функции:

y x2 и

Нечетные функции:

и y x .

Замечание. Функция y 0 является одновременно четной и

нечетной, а y x2

не является ни чётной ни нечётной, т.е является функцией общего вида.

Определение. Функция

называется периодической, если существует число

T 0 такое, что для каждого значения

x из области определения этой функции значения

x T и x T также принадлежат области определения и имеет место равенство

f x T f x .

Из данного определения следует,

что

чисел,

обладающих таким же свойством, что

и число T , бесконечно много. Например, 2T ,

и, вообще говоря,

nT где

n Z .

Определение. Периодом функции

называется

наименьшее

положительное

число T , удовлетворяющее условию периодичности

f x T f x .

Очевидно, что если функция

f x

имеет период

T ,

то

функция f ax

имеет

период T0 Ta .

Замечание. Из определения периодической функции следует, что ее область определения является неограниченной. Для построения графика периодической функции достаточно построить его на каком-либо отрезке длины, равной периоду, с последующим сдвигом этого графика влево и вправо.

Задание. Доказать, что функция y

sin x

имеет период

Доказательство. Область определения

X совпадает с

. Поэтому точки

x и

x принадлежат области определения функции y

sin x

. Проверим равенство

f x

sin x

f x .

Действительно, функция y

sin x

имеет период, равный .

Так как между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси можно установить взаимно-однозначное соответствие, в дальнейшем изложении понятиям “число x ” и “точка x числовой оси” в некоторых случаях будет придаваться один и тот же смысл. Например, вместо “значение функции при значении аргумента, равном x1 ” будет

говориться “значение функции в точке x1 ”. В нижеследующем определении можно везде заменить выражение “точка x ” на выражение “число x ”.

Пусть — некоторое положительное число. -окрестностью точки x0						называется
множество всех точек	x , принадлежащих промежутку			x0	, x0 , кроме самой точки
x0 . Принадлежность	точки x -окрестности		точки	x0	можно выразить с	помощью
двойного неравенства
	0	x x0
	0	x x0

Число называется радиусом окрестности.

Способы задания функций

1.	Аналитическое задание. Если				указана	совокупность	операций, которые надо
произвести над аргументом x , чтобы получить						значение функции		y , то говорят, что
функция задана аналитически.			x .
1). Явное задание: y f			x .

Пример: а) y		x 1,	x 0 ;
б) y x2 5x 1.
2).	Неявное задание: уравнение				F x, y 0 , при некоторых				условиях, задает
функцию	y f x , если	F x, f x		0 .

Пример: Уравнение x2 y 2				1 при y 0		задает функцию	y	1 x2 .

2. Табличное задание. На практике часто зависимость одной величины от другой находят опытным путем. В этом случае получается таблица, в которой даются значения

функции для конечного множества значений аргумента.
3. Графическое задание. Графиком функции	y f x называется геометрическое
место точек плоскости xOy вида M x, f x , где x	– произвольное значение из области

определения функции. Указанное геометрическое место точек, как правило, образует некоторую кривую l . В этом случае задание кривой l определяет отображение области определения на область изменения функции f x (см. Рис).

4. Словесное или описательное задание. В этом случае функциональная зависимость выражается некоторым словесным утверждением.

Пример: а) Функция y x есть целая часть числа x

б) Функция y x есть дробная часть числа x
	Графики функций y x и		y x x x .
1.	Заметим, что x означает целую часть числа		x , т.е. x n , если		x n r , где
0 r 1,	причем данная функция определена при любом значении			x .
Рассматривая промежутки изменения x вида			n x n 1	при n Z , получим,
что x n . Поэтому нетрудно		построить график y x .
2.	Запишем выражение	x x x на промежутке x n, n 1 , тогда
		y x x x n r n r .
Следовательно, значение функции в точке n r			равно дробной части числа x , т.е.
y 0,1 .

			y						y
	2
									1
-2	1	0	1	2	3	x
-2	-1					-2	-1	0	1	2	3	x
						-2	-1	0	1	2	3	x
			-1							y=x-[x]
					y=[x]
			-2

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
24.07.201785.64 Кб18Вопросы для студентов вечернего отделения от кафедры 311.pdf
#
24.07.20171.19 Mб143Лекции по Матанализу ч.3.pdf
#
24.07.20171.89 Mб397Лекции по Матанализу ч1.pdf
#
24.07.20171.2 Mб148Лекции по Матанализу ч2.pdf
#
24.07.2017166.23 Кб106Матанализ Вопросы 1 курс 1 семестр.pdf
#
24.07.2017129.01 Кб42Некоторые задачи для вечернего отделения третьего факультета от каф 311.pdf