- •Раздел I. Начисление простых процентов
- •1.1 Простые проценты Время как фактор в финансовых и коммерческих расчетах
- •Проценты и процентные ставки
- •Практика и формула наращения по простым процентам
- •Практика начисления простых процентов
- •Простые переменные ставки
- •Реинвестирование по простым процентам
- •Дисконтирование и учет по простым ставкам
- •Прямая и обратная задачи
- •Раздел II. Начисление сложных процентов
- •Формула наращения по сложным процентам, когда ставка меняется во времени
- •Формула удвоения суммы
- •Начисление годовых процентов при дробном числе лет
- •Номинальная и эффективная ставки процентов
- •Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов
- •Номинальная и эффективная учетные ставки процентов
- •2.2 Непрерывные проценты Наращение и дисконтирование
- •Связь дискретных и непрерывных процентных ставок
- •Расчет срока ссуды и процентных ставок
- •Срок ссуды
- •Расчет процентных ставок
- •Начисление процентов и инфляция
- •Наращение по простым процентам
- •Наращение по сложным процентам
- •Измерение реальной ставки процента
- •Практические приложения теории
- •Конвертация валюты и начисление процентов
- •Доходность операции в целом определяется по формуле
- •Погашение задолженности частями Контур финансовой операции
- •Актуарный метод
- •Правило торговца
- •Переменная сумма счета и расчет процентов
- •Изменение условий контракта
Раздел II. Начисление сложных процентов
2.1 Сложные проценты
2.2 Непрерывные проценты
2.1 Сложные проценты
Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.
Формула наращения по сложным процентам
Пусть первоначальная сумма долга равна P, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит P(1+i), через 2 года P(1+i)(1+i)=P(1+i)2, через n лет - P(1+i)n. Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов
S=P(1+i)n, (19)
где S- наращенная сумма,i - годовая ставка сложных процентов, n - срок ссуды, (1+i)n - множитель наращения.
В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.). Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен P, а знаменатель (1+i).
Отметим, что при сроке n<1 наращение по простым процентам дает больший результат, чем по сложным, а при n>1 - наоборот. В этом нетрудно убедиться на конкретных числовых примерах. Наибольшее превышение суммы, наращенной по простым процентам, над суммой, наращенной по сложным процентам, (при одинаковых процентных ставках) достигается в средней части периода.
Формула наращения по сложным процентам, когда ставка меняется во времени
В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид
(20)
где i1, i2,..., ik - последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n1, n2,..., nk соответственно.
Пример 6.
В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два года, 8% в третий год, 5% в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года.
Решение.
(1+0,3)2(1+0,28)(1+0,25)=2,704
Формула удвоения суммы
В целях оценки своих перспектив кредитор или должник может задаться вопросом: через сколько лет сумма ссуды возрастет вN раз при данной процентной ставке. Обычно это требуется при прогнозировании своих инвестиционных возможностей в будущем. Ответ получим, приравняв множитель наращения величинеN:
а) для простых процентов
(1+niпрост.) = N, откуда
. (21)
б) для сложных процентов
(1+iсложн.)n=N, откуда
. (22)
Особенно часто используется N=2. Тогда формулы (21) и (22) называются формулами удвоения и принимают следующий вид:
а) для простых процентов
, (23)
б) для сложных процентов
. (24)
Если формулу (23) легко применять для прикидочных расчетов, то формула (24) требует применения калькулятора. Однако при небольших ставках процентов (скажем, менее 10%) вместо нее можно использовать более простую приближенную. Ее легко получить, если учесть, что ln 2 0,7, а ln(1+i) i. Тогда
n 0,7/i. (25)
Пример 7.
Рассчитать, за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов равной 10%. Для ставки сложных процентов расчеты выполнить по точной и приближенной формуле. Результаты сравнить.
Решение.
а) При простых процентах:
лет.
б) При сложных процентах и точной формуле:
года.
в) При сложных процентах и приближенной формуле:
n 0,7/i = 0,7/0,1 =7 лет.
Выводы:
1) Одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к совершенно различным результатам.
2) При малых значениях ставки сложных процентов точная и приближенная формулы дают практически одинаковые результаты.