ИДЗ 11.1 Рябушко пример решения
.pdfНаш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
ИДЗ 11.1 – Вариант 0.
1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.
1.0 3x 3dy eydx 0
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные на 3x 3 и ey:
|
dy |
|
|
dx |
||
|
e y |
|
|
|
|
|
|
|
3 x 3 |
||||
Интегрируем обе части последнего равенства: |
|
|
dy |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Интеграл правой части |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dx |
|
x 3 |
|
dx |
|
x 3 |
3 |
|
C |
x 3 3 |
C |
3 |
3 |
x 3 2 |
C |
|||||||||||
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
x 3 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл левой части
edyy e y dy e y C
Тогда
e y 32 3 x 3 2 C
1 3 3 x 3 2 C e y 2
e y |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
x 3 2 |
C |
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
Следовательно, общим решением исходного уравнения является:
|
3 |
|
|
|
2 |
||||
y n C |
|
3 x 3 |
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
2. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.
2.0 (2x + 1)dy + y2dx = 0
2x 1 dy y2dx
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные на (2x + 1) и y2:
dy |
|
dx |
|
y2 |
2x 1 |
||
|
Интегрируем обе части последнего равенства:
|
|
|
dy |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
2x 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Интеграл левой части |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dy |
|
|
|
|
|
y 2 1 |
C |
1 |
|
C |
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
2 1 |
|
|||||||||||||||||||
Интеграл правой части |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
1 |
n |
|
2x 1 |
|
C |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2x 1 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
C |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
n |
2x 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
y |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
2x 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
y |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, общим решением исходного уравнения является:
y |
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
n |
|
2x 1 |
|
C |
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
3. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.
3.0 (x + 2y)dx = xdy
Исходное уравнения является однородным уравнением первого порядка. Решаем его с помощью подстановки y xu x . Далее находим
Полагаем:
u xy , ux y , dy xdu udx
Тогда
x 2ux dx x xdu udx 0 x 1 2u dx x xdu udx 0 dx 2udx xdu udx 0
dx udx xdu 0 xdu 1 u dx
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные на x и 1 u :
du |
|
dx |
|
1 u |
x |
||
|
Интегрируем обе части последнего равенства:
|
du |
|
dx |
|
|
||
1 u |
x |
n1 u nx nC 1 u x C
Подставляем u xy
Следовательно, общим решением исходного уравнения является:
1 xy x C xy x C 1 y Cx 2 x
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
4. Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения.
4.0 xy´ + 2y = x4, y |
|
|
|
13 |
|||||||||
|
2 |
||||||||||||
|
|
6 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Разделим исходное уравнение на x |
|||||||||||||
y' 2 |
y |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решаем уравнение с помощью подстановки y u x x |
|||||||||||||
Имеем: |
y u u |
|
|
|
|||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u u 2 |
u |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
(1) |
|||||
u u |
|
|
x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Находим функцию x из условия 2 |
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
|
d |
2 |
|
|
d |
|
2 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
d |
|
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n 2 nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Подставляем полученное выражение для x в уравнение (1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u |
1 |
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
du |
x 5 du x 5dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
du x 5dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
u |
x 6 |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y |
|
|
x |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
y |
x 4 |
|
|
C |
|
- является общим решением исходного уравнения. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Находим С, используя начальное условие y |
|
|
13 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
13 4 C 9 C |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
6 |
2 |
6 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Окончательно получаем, что частное решение исходного уравнения имеет вид:
y x 4 3 6 x 2
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
5. Найти общее решение дифференциального уравнения.
5.0 x2y2y΄ + y3x = 1
Разделим обе части уравнения на x2y2
x 2 y2 y |
|
y3 x |
|
1 |
|||||
x 2 y2 |
|
x 2 y2 |
x 2 y2 |
||||||
|
|
|
|
||||||
y |
y |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
x 2 y2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Данное уравнение является уравнением Бернулли. Решаем его с помощью подстановки y u x x
Имеем: y u u
Тогда
u u |
u |
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
x 2 u 2 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||
u u |
|
|
x 2 u 2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим функцию x из условия x |
0 |
||||||||||||||||||||||
|
d |
|
|
d |
|
dx |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||
|
d |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n n |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставляем полученное выражение для x в уравнение (1) |
|||||||||||||||||||||||
u |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
u |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
du x dx u 2
u 2 du xdx
Интегрируем обе части последнего равенства:
u 2du xdx
Интеграл левой части:
u 2du u 2du |
u 2 1 |
C |
u3 |
C |
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 1 |
3 |
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
u3 |
|
x 2 |
C u |
3 |
3x 2 |
C u 3 |
3x 2 |
C |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
Окончательно находим, что общее решение исходного уравнения определяется формулой:
y |
1 |
3 |
3x 2 |
C |
|
x |
2 |
||||
|
|
|