Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4607 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
fizmathim.ru Решаю задачи по высшей математике. Фотографии решенных заданий по высшей математике https://fizmathim.ru/photo/ Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова
Предмет:
Математика
Файл:

ИДЗ 1.1 Рябушко пример решения

.pdf
Скачиваний:
311
Добавлен:
20.02.2017
Размер:
222.6 Кб
Скачать
☆

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

ИДЗ 1.1 – Вариант 0

1. Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения элементов ai2, a3j. Вычислить определитель Δ: а) разложив его по элементам i-й строки; б) разложив его по элементам j-го столбца; в) получив предварительно нули в i-й строке.

 

 

 

 

4

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.0

 

1

2

1

0

 

 

i 2,

j 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алгебраическое дополнение Aij элемента aij определяется равенством

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aij 1 i j Mij

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

 

 

3 2

 

2

 

2

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

2

3

2

 

 

 

4

3 3 4 1 2 4 4 4 6

 

22

3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

1

 

 

2 1

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2 8 13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

1

 

2

 

1

 

1 1

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

1 2

1

 

 

 

 

 

2

2 1 3

4

34

3

 

4

 

 

 

1

 

3 4 3 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

2

 

3

2

 

2

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 16 7 26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алгебраические дополнения элементов а22, и а34

соответственно равны:

 

 

 

 

 

 

 

A22 1 2 2 M22 1 13 13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A34 1 3 4 M34 1 26 26

Вычислим определитель Δ: а) разложив его по элементам 2-й строки

a 21A21 a 22A22 a 23A23 a 24A24

Вычислим миноры по правилу треугольника:

 

a

11

a12

a13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a13a 22a 31 a12a 21a 33 a 23a 32a11

Mij

a

21

a 22

a 23

 

a11a 22a 33

a12a 23a 31 a 21a 32a13

 

 

 

a 32

a 33

 

 

 

 

 

a 31

 

 

 

 

Тогда определитель

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 1

4

 

3

1

4

 

3

4 4

 

3

4 1

 

 

 

 

 

 

1

1

3

2

2

2

3

2

1

2

1

2

0

2

1

3

1 12 6 8 36 16 1

 

3

2

1

 

2

2

1

 

2

3 1

 

2

3

2

 

2 9 4 16 24 12 2 1 3 16 24 8 18 8 37 26 9 72

Вычислим определитель Δ: б) разложив его по элементам 4-го столбца

a14A14 a 24A24 a34A34 a 44A44

 

 

 

 

 

 

1

2

1

 

3

4

1

3

4

 

1

 

3

4

1

4 2

1

3 0 2

1

3 2 1

2

 

1 1 1

2

1 4 2 12 6 2 9 8

2

3

2

2

3

2

2

3

 

2

2

1

3

2 12 8 3 4 9 8 1 18 8 1 4 3 12 60 52 40 72

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

Вычислим определитель Δ: в) получив предварительно нули в 2-й строке. Умножим третий столбец на -1 и сложим с первым

 

 

4

1

4

 

 

2

 

4

1

4

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

0

 

 

0

2

1

0

 

 

 

 

 

2

1

3

2

 

 

5

 

1

3 2

 

 

 

 

2

3

2

1

 

 

4

 

3

2 1

 

 

 

умножим третий столбец на -2 и сложим со вторым

 

 

4

1

4

 

 

 

 

6

1

4

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

0

2

1

0

 

 

0

0

1

0

 

 

 

 

 

5

1

3

2

 

 

5

 

5 3 2

 

 

 

 

 

4

3

2

1

 

 

4

 

1 2 1

 

 

 

 

 

6

1

4

 

 

 

 

2

6

4

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

5

5

2

1 10 48 20 80 4 30 1 ( 72) 72

 

5

5

3

2

 

 

 

 

4

1

1

 

 

 

 

 

 

 

4

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Даны две матрицы А и В. Найти: а) AB; б) BA; в) A-1; г) AA-1; д) A-1A

 

 

 

3

4

 

1

 

 

 

1

3

2

2.0

A 4

1

 

 

2

,

 

B

2

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

2

 

 

 

 

1

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

Произведение АВ имеет смысл, так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Находим матрицу С=AB, элементы которой cij ai1b1j ai2 b2 j ai3b3 j .... ain bnj

Имеем:

 

 

 

 

 

 

 

3

4

1

1

3

2

 

C AB 4 1

2

 

2

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

2

 

1

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 ( 1) ( 4) 2 1 1

3 ( 3) ( 4) ( 3) 1 4

3 2 ( 4) ( 2) 1 2

10

7

16

 

 

4 ( 1) 1 2 2 1

 

 

4 ( 3) 1 ( 3) 2 4

4 2 1 ( 2) 2 2

 

 

0

7

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ( 1) 0 2 2 1

 

 

1 ( 3) 0 ( 3) 2 4

1 2 0 ( 2) 2 2

 

 

1

5

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

2

3

4

1

 

 

 

 

 

 

D BA

2

3 2

4 1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

2

 

1

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3 ( 3) 4 2 1

1 ( 4) ( 3) 1 2 0

1 1 ( 3) 2 2 2

13

1

3

2 3 ( 3) 4 ( 2) 1

2 ( 4) ( 3) 1 ( 2) 0

2 1 ( 3) 2 ( 2) 2

 

8

11

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3 4 4 2 1

1 ( 4) 4 1 2 0

1 1 4 2 2 2

 

 

21

0

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно что AB BA

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

в) Найти: A-1

Обратная матрица A-1 матрицы А имеет вид:

 

1

A11

A 21

A31

 

A 1

 

 

 

 

 

A12

A22

A32

 

 

 

A

A23

 

 

 

 

A13

A33

По правилу треугольника, вычислим определитель:

a

11

a12

a13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a13a 22a 31 a12a 21a 33 a 23a 32a11

A a

21

a 22

a 23

 

a11a 22a 33

a12a 23a 31 a 21a 32a13

 

 

a 32

a 33

 

 

 

 

a 31

 

 

 

 

 

4

1

 

3

4 1

 

3

4

 

 

3

 

 

 

A

4

1

2

 

4

1

2

 

4

1

 

6 8 0 1 0 32 29 0

 

 

 

1

0

2

 

1

0

2

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

т.е. матрица А – невырожденная, и, значит, существует матрица A-1.

Находим матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы:

A11

1 2

1

2

 

2 0 2

 

 

0

2

 

 

 

 

A12

1 3

 

 

 

2

 

(8 2) 6

 

4

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

A13

1 4

 

 

 

1

 

0 1 1

 

4

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

A31

1 4

 

 

4

 

1

 

8 1 9

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

A33

1 6

 

4

 

3 16 19

 

3

 

 

 

 

4

1

 

 

Таким образом получаем матрицу:

A 21

1 3

 

4

 

1

 

( 8 0) 8

 

 

 

 

 

0

 

2

 

 

A 22

1 4

 

 

1

 

6 1 5

 

3

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

A 23

1 5

 

 

 

4

 

(0 4) 4

3

 

 

 

 

1

 

0

 

 

A32

1 5

 

1

 

(6 4) 2

 

3

 

 

 

 

4

2

 

 

 

 

2

6

1

 

 

8

5

4

 

 

 

 

9

2

19

 

 

 

Полученную матрицу транспонируем:

2

6

1 T

2

8

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

5 4

 

 

6

5

2

 

 

9

2

19

 

 

1

4

19

 

 

 

 

 

Последнюю матрицу делим на определитель исходной матрицы и получаем обратную матрицу:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

8

 

9

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

8

 

29

 

29

 

29

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

6

5

 

 

 

2

 

A

 

 

6

5

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

 

29

 

29

 

29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

19

 

 

 

1

 

4

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

Найти: г) AA-1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

4

1

 

 

2

8

9

 

AA 1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

4 1

2

 

 

 

 

6

5

2

 

 

29

 

 

1

0

2

 

 

 

1

4

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2 ( 4) ( 6) 1 ( 1)

 

3 8 ( 4) 5 1 ( 4)

 

1

 

4 2

1

( 6) 2 ( 1)

 

 

4 8 1 5 2 ( 4)

 

 

 

 

29

 

 

 

 

1 2

0

( 6) 2 ( 1)

 

 

1 8 0 5 2 ( 4)

 

 

 

 

 

 

 

29

0

0

1

0

0

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 29

0

 

 

0 1 0

 

E

29

 

 

0

0

29

 

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти: д) A-1A

 

 

2

8

9

 

3

4

1

A 1A

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

5

2

 

 

 

4

1

2

 

 

29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

19

 

 

 

1

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3 8 4 ( 9) 1

2 ( 4) 8 1 ( 9) 0

 

1

 

6 3 5 4 ( 2) 1

6 ( 4) 5 1 ( 2) 0

 

 

29

 

 

1 3 ( 4) 4 19 1

1 ( 4) ( 4) 1 19 0

 

 

 

т.е. обратная матрица найдена верно.

3 ( 9) ( 4) ( 2) 1 19

 

4 ( 9) 1 ( 2) 2 19

 

 

 

1 ( 9) 0 ( 2) 2 19

 

 

 

 

2 1 8 2 ( 9) 2

 

 

 

29

6 1 5 2 ( 2) 2

 

 

1

 

0

 

 

 

29

1 1 ( 4) 2 19 2

 

 

 

0

 

 

 

 

0

0

 

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29 0

 

 

0 1

0

 

E

0

29

 

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете Математика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности