ИДЗ 10.1 Рябушко пример решения
.pdfНаш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
ИДЗ 10.1 – Вариант 0.
1. Найти область определения указанных функций.
1.0 z = 16 x 2 y2
Учитываем, что подкоренное выражение больше либо равно нулю.
16 x 2 y2 0 x 2 y2 16
Строим на плоскости.
Область определения – множество точек плоскости, лежащих внутри окружности с центром в начале координат и радиусом R 4 и на этой окружности.
2. Найти частные производные и частные дифференциалы следующих функций.
2.0 z = ex2 3y2
Дифференциал функции z f x, y , найденный при условии, что одна из независимых переменных
изменяется, а вторая остается постоянной, называется частным дифференциалом, т.е. по определению |
|||||
d |
x |
z f x, y dx, d |
y |
z f |
x, y dy , где dx x, dy y - произвольные приращения независимых |
|
x |
y |
|
переменных, называемые их дифференциалами.
Вначале найдем частные производные функции, использовав формулу дифференцирования сложной функции одной переменной
|
z |
ex2 3y2 |
ex2 3y2 |
x 2 |
3y2 x |
ex2 3y2 |
2x 2 1 2xe x2 3y2 |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ex2 3y2 |
|
|
|
|
|||||
|
z |
ex2 3y2 |
x 2 |
3y2 y |
ex2 3y2 |
3 2y2 1 6yex2 3y2 |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теперь находим частные дифференциалы: |
|
||||||||||||
d |
|
z |
z |
dx 2xe x2 3y2 dx, |
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d y z |
|
z |
dy 6yex2 3y2 dy. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
3. Вычислить значения частных производных f’x(M0), f’y(M0), f’z(M0), для данной функции f(x, y, z) в точке M0(x0, y0, z0) с точностью до двух знаков после запятой
3.0 f(x, y, z) = x3 + y3 + z3 – xyz – 2, M0(1, 1, 1)
Находим частные производные данной функции, затем вычисляем их значения в точке M0(1, 1, 1)
f |
x, y, z x3 |
y3 |
z3 |
xyz 2 |
|
|
3x3 1 |
yz 3x 2 |
yz |
|
|
||||||||
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
f |
1,1,1 3 12 |
1 1 3 1 2 |
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
x, y, z x3 |
y3 |
z3 |
xyz 2 |
|
|
3y3 1 |
xz 3y2 |
xz |
|
|
||||||||
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
f |
1,1,1 3 12 |
1 1 3 1 2 |
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
x, y, z x3 |
y3 |
z3 |
xyz 2 |
|
3z3 1 xy 3z2 xy |
|||
|
|
||||||||
z |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
f |
1,1,1 3 12 |
1 1 3 1 2 |
|
|
|
|
|
||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Найти полные дифференциалы указанных функций.
4.0 z = |
5x 2 8y2 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Находим частные производные данной функции: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
5 2x 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
||||||||
|
5x 2 8y2 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
|
x |
2 |
|
5x |
2 |
8y |
2 |
12 |
|
|
|
|
|
5x |
2 |
8y |
2 |
12 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
8 2y2 1 |
|
|
|
|
|
|
8y |
|
|
|
||||||||||
|
5x 2 8y2 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y |
|
|
y |
2 |
|
5x |
2 |
8y |
2 |
12 |
|
|
|
|
|
5x |
2 |
8y |
2 |
12 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Согласно формуле dz |
z |
dx |
z |
dy имеем |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где dx x, dy y - произвольные приращения независимых переменных, называемые их дифференциалами
dz |
|
5x |
|
dx |
|
8y |
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
5x 2 8y2 12 |
5x 2 8y2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
12 |
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
5. Вычислить значение производной сложной функции u=u(x, y), где x=x(t), y=y(t), при t=t0 с точностью до двух знаков после запятой.
5.0 u = ln(e3x + e2y), x = t3, y = t5, t0 = 1
На основании формулы |
|
|
du |
|
u dx |
u |
dy |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x dt |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
y dt |
||||||
Тогда |
|
|
|
|
3x e2y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n e |
|
3e3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3x e2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 3 |
3t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n e |
3x e2y y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3x e2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 5 |
5t 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
du |
|
|
|
|
|
|
3e3x |
|
3t 2 |
|
|
2e2y |
|
5t 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dt |
|
e3x e2y |
e3x e2y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
При t0 = 1 получаем, что x 13 1; |
y 15 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
3e31 |
|
|
3 12 |
|
|
2e2 1 |
|
5 14 |
|
3e3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
t 1 |
|
e31 e2 1 |
e31 e2 1 |
e3 e2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Ответ: |
|
du |
|
|
|
9e3 |
10e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
dt |
|
|
|
e3 |
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2e2 |
5 |
9e3 |
10e2 |
|
e3 e2 |
e3 e2 |
||||
|
|
6. Вычислить значения частных производных функции z(x, y) заданной неявно, в данной точке M0(x0, y0, z0) с точностью до двух знаков после запятой.
6.0 x3 + y3 + z3 – xyz = 2, M0(1, 1, 1)
В данном случае F x, y, z x3 y3 z3 xyz 2, поэтому
F |
x3 |
y3 |
z3 |
xyz 2 x |
3x3 1 |
yz 3x 2 |
yz |
|||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
x3 |
y3 |
z3 |
xyz 2 y |
3y3 1 |
xz 3y2 |
xz |
|||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
x3 |
y3 |
z3 |
xyz 2 z |
3z3 1 |
xy 3z2 |
xy |
|||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, по формулам |
|
|
||||||||||||
Если уравнение F x, y, z 0 |
задает функцию двух переменных z x, y в неявном виде и Fz x, y, z 0 , |
|||||||||||||
то справедливы формулы: |
x, y, z |
|
|
|||||||||||
|
z |
|
F x, y, z |
|
z |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Fy |
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|||
|
x |
F x, y, z |
|
y |
F x, y, z |
|
||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
Тогда
|
z |
|
3x 2 yz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
3z2 xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z |
|
|
3y2 xz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
3z2 xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вычисляем значения |
|
z |
и |
|
z |
|
в точке M0(1, 1, 1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z 1, 1, 1 |
3 12 1 1 |
|
3 1 |
1 |
z 1, 1, 1 |
|
3 12 1 1 |
|
3 1 |
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x |
|
3 12 1 1 |
3 1 |
|
y |
|
|
3 12 1 1 |
3 1 |
|
||||||||||||
Ответ: |
z 1, 1, 1 |
z |
1, 1, 1 1, |
z 1, 1, 1 z |
1, 1, 1 1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|