- •Системы линейных уравнений
- •Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными
- •Совокупность значений неизвестных
- •Система, имеющая хоть одно решение, называется совместной.
- •Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •Рассмотрим систему линейных уравнений
- •Составим определитель из коэффициентов при неизвестных
- •Далее составим три вспомогательных определителя:
- •Решение системы (10) находим по формулам:
- •Замечание.
- •Пример
- •Решение систем линейных уравнений средствами матричного исчисления
- •Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными:
- •Составим из коэффициентов при неизвестных матрицу
- •Матрицу
- •Запишем систему уравнений в виде матричного уравнения
- •Таким образом, если матрица А системы невырожденная, т.е. существует А 1 , то
- •Замечание
- •Пример
- •Ранг матрицы. Элементарные преобразования.
- •Миноры матрицы
- •Пример
- •Если выбрать какие-либо две строки и два столбца матрицы, то можно составить миноры
- •Ранг матрицы
- •Элементарные преобразования матрицы
- •4.Отбрасывание одной из двух одинаковых строк.
- •Теорема: Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.
- •Если с помощью элементарных преобразований получить нули ниже главной диагонали матрицы, то ранг
- •Пример
- •Понятие о линейной зависимости
- •Строки e1, e2 ,..., em матрицы А линейно зависимы, если можно подобрать такие
- •Если одна из строк матрицы линейно выражается через другие строки, то строки этой
- •Пример
- •Теорема о ранге матрицы
- •Теорема. Если ранг матрицы равен r, то в этой матрице можно найти r
- •Теорема. Для того чтобы определитель был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его
Пример
Решить систему уравнений
|
х1 |
2х2 |
х3 |
10, |
|||
|
2х |
|
х |
2 |
х |
3 |
20, |
|
1 |
|
|
|
|||
|
х |
3х |
2 |
х |
3 |
30. |
|
|
1 |
|
|
|
|
Решение систем линейных уравнений средствами матричного исчисления
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными:
à11õ1 à12 õ2 à13 õ3 b1,à21õ1 à22 õ2 à23 õ3 b2 ,à31õ1 à32 õ2 à33 õ3 b3.
Составим из коэффициентов при неизвестных матрицу
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
a22 |
a23 |
|
À a21 |
|
||
|
a32 |
a33 |
|
a31 |
|
и назовем ее матрицей системы.
Матрицу |
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
 b2 |
|
|
|
|
|
b3 |
|
называют матрицей-столбцом из свободных
членов, а матрицу
x1 X x2x3
- матрицей-столбцом из неизвестных.
Запишем систему уравнений в виде матричного уравнения
АХ В .
Умножая обе части этого уравнения |
|||
слева на |
А 1 |
, получим: . |
|
À 1 ÀÕ À 1 Â ÅÕ |
À 1 Â Õ À 1 Â
Таким образом, если матрица А системы невырожденная, т.е. существует А 1 , то решение системы линейных уравнений можно найти по формуле
Х А 1 В.
Замечание
Метод матричного исчисления обычно применяют для решения систем трех уравнений с тремя неизвестными. Решать этим методом системы с большим числом уравнений и неизвестных неудобно, так как он приводит к громоздким выкладкам.
Пример
Средствами матричного исчисления решить систему линейных уравнений
x2x
4x
3y 5z 10,
y z 5,
2 y 3z 5