- •Глава 1 ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ
- •Возможные обозначения матрицы:
- •Матрица размером 1 n
- •Транспонированная матрица. Если в матрице A (1.1) типа m×n строки заменить соответственно столбцами,
- •Квадратная матрица
- •Пример
- •Диагональная матрица. Это квадратная матрица,
- •Единичная матрица. Это диагональная матрица, у которой элементами главной диагонали являются единицы. Единичная
- •1.2. Операции с матрицами и их свойства
- •Произведение двух матриц. Даны две Прямоугольные матрицы A и B, имеющие соответственно размеры
- •Рис. 1.1 Схема операции умножения матриц
- •Пример 1.4. Найти произведение
- •Пример 1.5. Найти произведение квадратной матрицы и вектор–столбца.
- •Произведение двух матриц не обладает переместительным свойством:
- •1.3. Определитель матрицы
- •Пример 1.6. Вычислить определитель 3-го порядка
- •Линейная зависимость и линейная комбинация элементов матрицы
- •Свойства определителей
- •4. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю:
- •1.4. Алгебраические дополнения и миноры
- •Алгебраическое дополнение
- •Пример 1.9. Проверить, что для треугольных матриц определитель равен произведению диагональных элементов и
- •1.5. Обратная матрица
- •Обращение матрицы можно осуществить по следующему правилу.
- •Пример 1.10. Произвести обращение матрицы
- •1.6. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Введем матрицу системы A и вектор-столбцы X и B:
- •Примером системы, обладающей единственным
- •Пример 1.11. Решить линейную систему 3-х уравнений с 4-мя неизвестными
- •Решение. Применим в качестве базисных неизвестных
Алгебраическое дополнение
Aij ij ( 1)i j Mij
На рис.1.1 показаны знаки сомножителя (-1)i+j для определителя 3-го порядка
Рис. 1.2
Формула разложения определителя порядка n по элементам строки i (i = 1, 2, …, n) имеет вид
n |
n |
D ai1Ai1 ai2 Ai2 ... aij Aij ... ain Ain aij Aij aij ( 1)i j Mij |
|
j 1 |
j 1 |
Пример 1.9. Проверить, что для треугольных матриц определитель равен произведению диагональных элементов и det A = det AT:
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 4 |
2 1 |
T |
2 4 |
0 |
0 |
|||||
A |
|
1 |
3 |
, |
A |
|
2 |
1 |
0 |
. |
0 0 |
|
|
1 |
|
||||||
|
0 |
0 3 |
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
0 |
|
|
2 1 |
|
Определитель матрицы A находим посредством алгебраических дополнений по элементам последних строк, т.е.
det A
1.5. Обратная матрица
Обратной матрицей A-1 по отношению к исходной A называется такая матрица, которая, будучи умноженной на исходную слева или справа, даст единичную матрицу:
AA 1 A 1 A E.
Для невырожденной квадратной матрицы A обратная матрица имеет вид
|
|
|
|
|
A |
A ... |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
1 |
|
A1211 |
A1221 ... |
||
A |
|
|
det A |
|
... ... ... |
||
|
|
|
|
|
A |
A |
... |
|
|
|
|
|
1n |
2n |
|
An1 An2
...
Ann
%
detAA.
(1.28)
(1.33)
Обращение матрицы можно осуществить по следующему правилу.
1.Вычислить определитель исходной матрицы
=det A.
2.Сформировать матрицу из алгебраических дополнений всех элементов исходной матрицы
Aij ( 1)i j Mij .
3. Транспонировать матрицу алгебраических дополнений, что дает присоединенную матрицу по отношению к исходной матрице A.
4. Каждый элемент присоединенной матрицы разделить на определитель исходной матрицы .
Пример 1.10. Произвести обращение матрицы
A 12 |
44 |
и доказать, что она обратная.
Решение
1. |
det A 2 4 |
1 4 |
4 – определитель. |
||||||
2. |
4 |
1 |
|
– матрица из алгебраических |
|||||
4 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
дополнений. |
|||
3. |
|
4 |
4 |
– транспонированная матрица |
|||||
1 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
из алгебраических дополнений. |
|||
4. |
1 |
|
4 |
|
4 |
|
1 |
1 |
|
|
4 |
|
1 |
|
|
2 |
|
0.25 |
0.5 – обратная матрица. |
Доказательство: Если A-1 – обратная матрица, то справедливо выражение AA-1 = E.
1 |
4 |
0.25 |
0.5 |
2 |
4 |
1 |
1 |
1.6. Системы линейных алгебраических уравнений
Предположим, что задана система m линейных уравнений относительно n неизвестных x1, x2, …, xn.
В развернутой форме её можно записать так:
a11x1 a12 x2 K a1n xn b1 |
|
(1.34) |
|
a21x1 |
a22 x2 K a2n xn b2 |
||
|
… |
. |
|
am1x1 am2 x2 K amn xn bm
Введем матрицу системы A и вектор-столбцы X и B:
|
|
a |
a |
... |
a |
|
|
x |
|
b |
|
||||
|
11 |
12 |
... |
|
1n |
1 |
1 |
||||||||
A |
a |
a |
a |
|
x |
|
b |
|
|||||||
|
21 |
22 |
|
|
2n |
, |
X |
|
2 |
, |
B |
|
2 |
, |
|
|
... ... ... ... |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
K |
|
K |
|
|||||||||
|
|
a |
... |
a |
|
|
|
|
|
||||||
|
a |
mn |
x |
|
b |
|
|
||||||||
|
m1 |
m2 |
|
|
n |
m |
что позволяет систему (1.34) записать более компактно в матричной форме:
AX B . |
(1.35) |
Совокупность чисел 1, 2 ,K , n
называется решением системы (1.34), если в результате замены неизвестных
x1 1, x2 2 ,K , xn n
все уравнения системы дадут арифметические тождества.
Примером системы, обладающей единственным
решением является, например:
x1 x2 2 x1 x2 0.
Её решением служат значения неизвестных:
|
x1 x2 1. |
Система |
x1 x2 1 |
|
|
|
2x1 2x2 2 |
имеет бесчисленное множество решений. |
Действительно, запишем уравнение в виде x2 1 x1 .
Уравнения |
x1 |
x2 |
1 , |
x1 x2 2 |
|
образуют несовместную (противоречивую) систему.
Пример 1.11. Решить линейную систему 3-х уравнений с 4-мя неизвестными
x1 2x2 3x3 5x4 14 4x1 3x2 0x3 9x4 10
3x1 0x2 x3 5x4 6 . |
(1.40) |