2.2.2. Вычисление случайной погрешности

В основе определения случайной погрешности, лежат два предположения, подтверждаемые опытами:

1)при большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;

2)большие погрешности встречаются реже, чем малые, то есть вероятность появления погрешности уменьшается с ростом величины погрешности.

Пусть проведено N прямых измерений физической величины A, и они не содержат грубую погрешность: A1, A2, A3 … AN.. Обозначим истинное значение данной серии изме рений через Aист, тогда абсолютная погрешность i-го измерения будем считать равной:

где Ai – результат i-го измерения,

Aист- величина истинного значения результатат измерения для данной серии.

Из выражения (10) выразим абсолютные погрешности каждого из измерений A1, A2, A3 … AN:

A1=Aист± A1; A2=Aист± A2; ……. AN=Aист± AN

Сложив почленно эти уравнения и поделив на N, получим:

<A>– среднее арифметическое значение измеренной величины. С учётом выражения (12), наше выражение (11) примет вид:

Видим, что при N → ∞ среднее значение <A> → Aист, так как

N →∞ N i=1

Поэтому при многократных прямых измерениях в качестве истинного значения используют

среднее арифметическое значение <A>.

Среднее арифметическое значение представляет собой то значение, относительно которого

ипроисходит «разброс» случайных погрешностей.

Втеории случайных событий (величин) характеристикой разброса случайных погрешностей является оценка среднеквадратичного отклонения (СКО) результата серии измерений S, ко-

торая при ограниченном числе измерений определяется как:

где N – число измерений.

Теория вероятностей позволяет найти доверительный интервал случайной погрешности α по методу Стьюдента. Стьюдент предложил рассмотреть случайную погрешность как произведение:

где t(P,N) – коэффициент Стьюдента, значения которого заранее рассчитаны и приведены в таблице №1, для доверительной вероятности p=0,95.

8

Найти коэффициент Стьюдента можно на пересечении строки, соответствующей известному числу измерений, и столбца t(p).

Если систематические и грубые погрешности устранены, то найденная величина α представляет собой случайную абсолютную погрешность α= A и тогда результат измерения будет выглядеть так:

Это означает, что истинное значение измеряемой величины A попадает в доверительный интервал (<A>+ A ; <A>- A) с вероятностью p=0,95, то есть 95 результатов измерений из 100 попадают в данный доверительный интервал.

Таким образом, задача нахождения случайной погрешности состоит в определении пределов вероятного изменения измеряемой величины.

Обработка результатов измерений по методу Стьюдента

Результаты данной серии измерений, не являющиеся грубыми ошибками, внести в таблицу 2 для обработки по методу Стьюдента.

Таблица 2.

1. Рассчитать среднее арифметическое для данной серии измерений:

<A>= 1 ∑N Ai = N i=1

2. Найти отклонение каждого из результатов данной серии измерений от среднего: hi= hi - <h>

изаписать со своим знаком в третий столбец таблицы 2.

3.Найти квадрат отклонений от среднего для каждого из результатов измерений в данной серии и заполнить четвёртый столбец таблицы 2.

4 Найти сумму квадратов отклонений от среднего

Σhi2=

5.Рассчитать оценку среднеквадратичного отклонения результата серии измерений S, которая при ограниченном числе измерений определяется как:

N

∑(Ai − < A >)2

где N – число измерений.

6. По таблице 1 найти коэффициент Стьюдента:

9

Для N= 9 и Р= 0,95 t= 2,31

7.Вычислить абсолютную погрешность по формуле:

α= t S=

8.Сравнить значение вычисленной абсолютной погрешности α с погрешностью прибора и записать окончательное значение абсолютной погрешности измерений.

2.2.2.1. Стандартная запись окончательного результата

Впроцессе обработки результатов наблюдений необходимо:

1)в стандартной форме записи окончательного результата погрешность измерения принято выражать числом с одной или двумя значащими цифрами. Значащими цифрами числа называю все его цифры, начиная с первой слева, отличной от нуля цифры. Две цифры указываются при наиболее точных измерениях, а также, если цифра старшего разряда числа, выражающего погрешность, равна или меньше трёх:

h= (6,78 ±0,05) м; или l=(3,21 ± 0,17) м;

2)Числовое значение результата измерения представляется в таком виде, чтобы и среднее значение и абсолютная погрешность имели одинаковое число десятичных знаков после запятой. При этом для больших и малых чисел используют стандартную запись в виде произведения:

а10n, где 1 ≤ а ≤ 10;

3)При окончательной оценке вычисленного значения абсолютной погрешности необходимо сопоставить его с абсолютной погрешностью измерительного прибора (λ). Если вычисленное значение абсолютной погрешности в 10 раз меньше погрешности прибора, то за величину абсолютной погрешности принимают погрешность прибора. Если же вычисленное значение абсолютной погрешности равно погрешности прибора, то величину абсолютной погрешности принимают равной сумме вычисленной погрешности и погрешности прибора:

h окончат.= hвычисл. +λ.

4) Если в результате измерений получается ряд совершенно одинаковых значений измеряемой величины, то в качестве абсолютной погрешности измерений берётся погрешность прибора λ Для приборов, имеющих нониус (верньер), погрешность измерений берётся равной погрешности нониуса.

2.2.2.2. Правила округления

При записи результатов измерений, а также при их обработке, округление результата проводится согласно следующим правилам:

1.Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не изменяется. Лишние цифры в целых числах заменяют нулями, а в десятичных дробях отбрасывают. Например, число 847563 при сохранении четырёх значащих цифр должно быть округлено до 847500, а число 354,345 - до 354,3.

2.Если старшая отбрасываемая цифра больше или равна 5, но за ней следуют отличные от нуля цифры, то последнюю сохраняемую цифру увеличивают на единицу. Например, при сохранении трёх значащих цифр число 123,51 округляют до 124, а 34598 – до 34600.

3.Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры неизвестны, то последнюю сохраняемую цифру не изменяют, если она чётная, и, увеличивают на 1, если она нечётная, например: число 22.5 при сохранении двух значащих цифр округляют до 22, а число 31,5 -

до 32.

4.Из правил округления имеется исключение: при округлении погрешности последняя

сохраняемая цифра увеличивается на 1, если старшая сохраняемая цифра 3 или больше.

Например, пусть < h > = 3,455 м, а h = 0,043 м,

тогда правильная запись окончательного результата выглядит так: h = (3,46±0,05) м.

10