1. Дискретизация аналоговых сигналов

Введение

В любом устройстве цифровой обработки используются цифровые сигналы - квантованные по величине и дискретные по времени.

Если цифровой обработке подвергается аналоговый сигнал, то необходимо выполнить его дискретизацию и квантование.

При этом важнейшей задачей является обоснованный выбор частоты дискретизации.

От частоты дискретизации зависит спектр дискретного сигнала и его искажения, связанные со специфическими процессами, возникающими при дискретизации аналогового сигнала, а также возможность восстановления аналогового сигнала из дискретного.

Поэтому данная тема включает следующие разделы:

1. Предварительные замечания

1.2.Определение спектра дискретного сигнала. Эффекты размножения и наложения

спектров

1.3. Прореживание и интерполяция дискретных сигналов

1. Предварительные замечания

Определим спектр косинусоидального сигнала

Амплитудный спектр аналогового косинусоидального сигнала в тригонометрическом базисе

Воспользовавшись формулой Эйлера, получим

Амплитудный спектр аналогового косинусоидального сигнала в экспоненциальном базисе

Рассмотрим случай ненулевой начальной фазы косинусоиды

Поскольку амплитудный спектр такой же, как при нулевой начальной фазе

Спектр фаз косинусоидального колебания

При представляет собой синусоидальное колебание

Амплитудный спектр синусоидального сигнала в экспоненциальном базисе такой же, как амплитудный спектр косинусоидального сигнала. У них разный фазовый спектр

1.2.Определение спектра дискретного сигнала. Эффекты размножения и наложения

спектров

Периодическая чётная функция u(t) может быть представлена рядом Фурье

(1.1)

где С₀ и С_k - коэффициенты ряда Фурье:

, ,

- круговая частота дискретизации.

После подстановки последних соотношений в (1.1) получим

. (1.2)

Из (1.2) видно, что амплитуда k-ой гармоники импульсной последовательности u(t) пропорциональна функции sin(x)/x, где x = k π τ / T_Д. При x = 0 эта функция равна единице. Первый нуль функции имеет место при x = π. Это означает, что при τ / T_Д = 0.001 амплитуда 1000-ой гармоники равна нулю. Однако при амплитуда k-ой гармоники отличается от амплитуды первой гармоники не более чем на 1.6%.

В этом случае можно воспользоваться приближенным соотношением

(1.3),

где K – максимальное значение k, при котором значение функции sin(x)/x отличается от 1 на величину допустимой погрешности. При уменьшении отношения τ / T_Д значение K увеличивается. В предельном случае, когда вместо импульсной последовательности используется последовательность δ – функций, .

Спектр апериодического аналогового сигнала x(t) определяется с использованием прямого преобразования Фурье

(1.4)

Воспользовавшись прямым преобразованием Фурье, найдем спектр дискретного сигнала

Сравнивая последнее соотношение с (1.4), выразим спектр дискретного сигнала через спектр аналогового сигнала

(1.5)

Спектр дискретного сигнала с точностью до постоянного сомножителя Uτ / T_Д равен сумме спектров аналогового сигнала, сдвинутых вдоль оси частот на kω_Д.

Случай 1: Максимальная частота спектра аналогового сигнала удовлетворяет теореме Котельникова (F_max<F_д /2)

Частоты спектра дискретного сигнала связаны с частотой спектра аналогового сигнала F соотношением

,

где F – текущая частота спектра аналогового сигнала

Условие отсутствия наложения спектров

Следовательно,

(Условие Котельникова)

Случай 2:Спектр аналогового сигнала находится вне интервала Котельникова (вне интервала частот от 0 до F_д / 2

Частоты спектра дискретного сигнала связаны с частотой спектра аналогового сигнала F соотношением

Из рисунка видно, что в интервале от нуля до F_д / 2 (интервале Котельникова) существует сгусток спектра, по форме не отличающийся от спектра аналогового сигнала, но с другой средней частотой. В случае модулированного сигнала средняя частота спектра является частотой несущей. Форма спектра определяется законом модуляции. Если форма спектра при дискретизации сохраняется, то закон модуляции остаётся неизменным.

Поэтому для выделения модулирующего сигнала можно использовать выходной сигнал дискретизатора, спектр которого находится в интервале Котельникова.

Из рисунка видно, что при сгустки спектра дискретного сигнала распределены равномерно вдоль оси частот.

Из рисунка также видно, что в интервале от нуля до F_д располагается два сгустка спектра. Поэтому необходимым условием отсутствия наложения спектров является

.

Уменьшим частоту несущей по сравнению с её значением на предыдущем рисунке

() и снова выполним построение

Из рисунка видно, что при сгустки спектра распределены неравномерно вдоль оси частот.

Можно показать, что при сгустки спектра так же неравномерно располагаются вдоль оси частот.

Таким образом, существуют два условия выбора частоты дискретизации при дискретизации модулированных сигналов:

.

Поясним снижение частоты несущей модулированного сигнала на выходе дискретизатора на примере синусоидального сигнала

Частоты составляющих спектра дискретного сигнала

Сигналы на входе и выходе дискретизатора

1.3.Прореживание и интерполяция

дискретных сигналов

Прореживанием или децимацией называется процесс понижения частоты дискретизации, а интерполяцией - процесс ее повышения. Коэффициенты, показывающие во сколько раз изменяется частота дискретизации, называются коэффициентами прореживания и интерполяции соответственно.

Временные диаграммы сигналов на входе и выходе прореживателя отсчетов. Коэффициент прореживания M₀=3

Операция прореживания сводится к периодическому пропуску (М ₀ - 1) отсчетов исходного сигнала.

Рассмотрим процесс интерполяции