Функция d(θ) определяется следующим образом

Метод не накладывает ограничений на АЧХ в переходной полосе.

Функция A(θ) определяет АЧХ реального фильтра, т.к. АЧХ

где

Можно считать, что при минимальном отличии функции A(θ) от функцииD(θ), отличие АЧХ отD(θ) будет также минимальным.

Сформируем целевую функцию

.

Функция g() под знаком интеграла представляет собой весовую функцию, регулирующую точность аппроксимации.

Пусть, например,

При g<1 пульсации АЧХ в полосе пропускания меньше, чем в полосе задерживания, а приg>1 наоборот.

Условием минимума является равенство нулю производных

Частная производная по коэффициенту с_mравна

,

где m= 0, 1, ..k₀.

Подставляя в последнее соотношение g(θ) и D(θ) и приравнивая производную нулю, получим

Поменяем местами операции суммирования и интегрирования

Введём обозначение

где

С учётом введённых обозначений перепишем последнее соотношение

Полагая m = 0,1,2,…k₀, получим систему из k₀+1 уравнения с k₀+1 неизвестным коэффициентом c_k .Решение этой системы и последующее определение коэффициентов b завершает синтез фильтра.

Для синтеза фильтра воспользуемся графической средой FDATool (Filter Design & Analysis Tool) MATLAB.

Запуск графической среды осуществляется набором её имени в командной строке MATLAB

>> fdatool

На рисунке 2.89 приведено окно графической среды FDAToolс АЧХ фильтра, синтезированного по методу наименьших квадратов (Least-squares) при

Нижняя нормированная частота полосы пропускания фильтра равна

Верхняя нормированная частота полосы пропускания фильтра

Рисунок 2.89. Окно графической средыFDAToolMATLABс АЧХ фильтра,

синтезированного по методу наименьших квадратов (Least-squares) при

,,

Нормированная ширина левой переходной полосы равна

Нормированная ширина правой переходной полосы равна

При симметричной АЧХ

Исходными данными для данной графической среды являются:

1. Тип фильтра: Bandpass(полосовой фильтр),FIRLeast-squares(фильтр с конечной импульсной характеристикой, синтезируемый по методу наименьших квадратов)

2. Порядок фильтра N-1 (порядок на единицу меньше длины импульсной характеристики),

3. Способ задания частот, определяющих АЧХ фильтра Normalized(0to1), что соответствует изменению нормированной частотыf_N от нуля до 0.5,

4. Частоты, определяющие АЧХ фильтра:

- верхняя граница левой полосы задерживания,

- нижняя граница полосы пропускания,

- верхняя граница полосы пропускания,

-нижняя граница правой полосы задерживания;

5. Весовая функция:

Wstop1=g– весовой коэффициент левой полосы задерживания,

Wpass=1 - весовой коэффициент в полосе пропускания,

Wstop2=g– весовой коэффициент в правой полосе задерживания.

Программа позволяет наблюдать фрагменты АЧХ в увеличенном масштабе. На рисунке 2.90 представлен фрагмент АЧХ в пределах полосы пропускания. Из него видно, что неравномерность АЧХ в полосе пропускания равна 0.035 дБ.

Рисунок 2.90. Фрагмент АЧХ рисунка 2.89

Рисунок 2.91 представляет импульсную характеристику фильтра

Рисунок 2.91. Окно графической среды FDAToolMATLABс импульсной характеристикой фильтра, синтезированного по методу наименьших квадратов (Least-squares) при

,,

При весовом коэффициенте g=5 (Wstop1=5,Wpass=1,Wstop2=5) неравномерность АЧХ в полосе пропускания увеличивается до значения 0.044 дБ, уровень пульсаций АЧХ в полосе задерживания на границах рабочего интервала снижается на 20дБ, оставаясь на прежнем уровне на границах с левой и правой переходной полосой.

При весовом коэффициенте g=0.2 (Wstop1=0.2,Wpass=1,Wstop2=0.2) неравномерность АЧХ в полосе пропускания уменьшается до значения 0.02 дБ, уровень пульсаций АЧХ в полосе задерживания увеличивается примерно на 5дБ.

Сравнение рисунков 2.89 и 2.86 показывает, что максимальный уровень пульсаций АЧХ в полосе задерживания у фильтра, синтезированного по методу наименьших квадратов, такой же, как у фильтра с модифицированной гауссовской АЧХ, а неравномерность АЧХ в полосе пропускания существенно меньше.

Сравнение импульсных характеристик этих фильтров показывает, что при одинаковой длине импульсной характеристики доля отсчетов, абсолютная величина которых превышает или равна одной сотой значения абсолютного значения максимального отсчета, у фильтра , рассчитанного методом наименьших квадратов примерно в полтора раза больше, чем у фильтра с модифицированной гауссовской АЧХ.Это приводит к большей длительности переходных процессов при фильтрации сигналов с прямоугольной огибающей.

2.14. Синтез нерекурсивных цифровых фильтров с линейной ФЧХ методом

наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации

Все методы, рассмотренные выше, позволяют синтезировать фильтры с линейной ФЧХ и АЧХ с допустимыми пульсациями, причем уровень пульсаций зависит от частоты. Например, из рисунка 2.89 видно, что уровень пульсаций в полосе задерживания уменьшается по мере удаления от переходной полосы. Однако при синтезе приходится ориентироваться на их максимальный уровень, который должен быть меньше допустимого. Поэтому возникает вопрос, нельзя ли уменьшить максимальный уровень за счет выравнивания пульсаций в пределах заданной полосы. Ответом на этот вопрос является метод наилучшей равномерной аппроксимации.

На рисунке 2.92 приведены требуемая АЧХ полосового фильтра D(θ), заданная в полосе пропускания и в полосе задерживания, и аппроксимирующая функцияA(θ) с равновеликими пульсациями.

Точками обозначены экстремумы этой функции.

Рисунок 2.92 – Требуемая АЧХ D(θ) и функцияA(θ) при

чебышевской аппроксимации