Метод вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований

С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к трапецеидальному виду , где на главной диагонали стоят отличные от нуля элементы,, …,. Тогда минор-го порядка, а все миноры порядка большеравны нулю. Значит,.

Пример 4.3. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.

Решение.

Сначала получаем нули в первом столбце, для этого:

1) умножаем первую строку на (−2) и складываем со второй;

2) умножаем первую строку на (−3) и складываем с третьей;

3) умножаем первую строку на (−6) и складываем с четвертой строкой;

получаем:

Получаем нули во втором столбце, работая со 2 строкой

получаем нули в третьем столбце, работая с третьей строкой,

Получили трапецеидальный вид. Итак, .

4.3. Найти ранг матриц:

1. ; 2.; 3.; 4.;

5. ; 6.; 7.; 8..

4.4. Дать описание всех матриц ранга 0.

4.5. Дать описание всех матриц ранга 1.

4.6. Доказать, что ранг диагональной матрицы равен числу ее элементов, отличных от нуля.

4.7. Указать, какие из следующих соотношений возможны. Какие верны для произвольной пары матриц?

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

46