Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по векторной алгебре

.pdf

Скачиваний:

116

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

822.4 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чернышевского"

ог

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО

ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕн

Учебное пособиеи

А.В. Букушева, А.В. Гохман, М.В. Лосик

Саратов

2013

ВВЕДЕНИЕ

Традиционно курс аналитической геометрии на механико-

математическом факультете СГУ начинается изложением векторной

алгебры. Это позволяет очень компактно ввести все основные понятия и

формулы аналитической геометрии. Однако значение векторной алгебры

далеко выходит за пределы

ее

применений

ог

в аналитической геометрии.

Не говоря уже о применениях векторной алгебры в механике и физике,с

она может рассматриваться как отправной пункт для введения и еизуче-

ния общего понятия n-мерного векторного

и евклидова пространства, а

затем и гильбертова пространства. Обычно задачи по векторной алгебре

что создает

включаются в сборники задач по аналитической геометрии,Ч

впечатление их вторичности

по отношению

геометрии.

к аналитической.

Поэтому естественно, что данный сборник

задач ограничивается только

задачами по векторной алгебры.

Сборник задач является учебным пособиемипо курсу аналитической гео-

специальностей и на-

метрии для студентов математических и физическихе

правлений подготовки 010200 Математикаи и компьютерные науки, 010400

010800 Механика и математиче-

Прикладная математика и информатика,е

ское моделирование, 011200 Физикаи и т.д.. Фактически он является моди-

фицированной версией сборника задач по векторной алгебре, изданного в

СГУ в 1974 г. и написанногоыколлективом авторов в составе А.В.Гохмана,

Н.И.Кабанова, Ю.К.Коноплевой, М.В.Лосика и М.А.Спивака под редакцией

Изменения коснулись в основном теорети-

Ю.И.Пензова и Н.Ф.Ржехиной.т

ческих разделов, была принята более современная терминология и теорети-

ческие разделыуразных параграфов были унифицированы. Поскольку этот

постоянно применяется в преподавании, а прежнее издание

сборник задачг

физичес почти исчезло, то его издание представляется целесообразным.

1. АФФИННЫЕ ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ

Связанным вектором называется упорядоченная пара точек (A; B), точ-

ка A называется началом, точка B концом. Если начало и конец связан-

ного вектора совпадают, то он называется нулевым. На рисунке связанный

вектор изображается отрезком прямой, соединяющим его начало и конец, со

стрелкой у его конца (рис. 1.).

ог

Рис. 1

Длиной (модулем) связанного вектора называется расстояние между его

началом и концом. Направлением ненулевого связанного вектора называется

вектора и который

направление луча, вершина которого совпадает с началоми

содержит конец вектора. Направление нулевого связанного вектора считает-

ся произвольным.

всех связанных векторов,

Свободным вектором называется множествот

длина и направление которых совпадают соответственно с длиной и направ-

Каждый связанный вектор, принад-

лением некоторого связанного вектора.в

называется представителем послед-

лежащий данному свободному вектору,н

него.

Свободные векторы обозначаются буквами ~a; b;~c; :::. Свободный вектор,

содержащий связанный ектор (A; B), обозначается также !. Свободный

вектор состоит из бесчисленного множества связанных векторов, причем из

каждой точки исходит точно один его представитель. Любым его предста-

вителем своб

сдный вектор полностью определяется. Все нулевые связанные

векторы образуют один свободный вектор, который называется нулевым и

0. На рисунке свободный вектор условно изображается каким-

обозначаетсяк

либо его представителем.

а Длиной и направлением свободного вектора называется соответственно

адлина и направление любого его представителя. Длина свободных векторов

! и

обозначается соответственно j !j

и j j или

В дальнейшем свободные векторы называются кратко векторами.

Признак равенства векторов. Два вектора равны тогда и только тогда, когда их длины и направления совпадают.

Сумма двух неколлинеарных векторов совпадает с вектором, определяемым диагональю параллелограмма, построенного на представителях слагаемых, как на сторонах (рис. 2). Сумма трех некомпланарных векторов совпадает с вектором, определяемым диагональю параллелепипеда, построенного

Противоположным для вектора ~a называется вектор той же длины и

противоположного направления, обозначается он ~a. Два или большее чис-

ло векторов называются коллинеарными, если их представители с общим

началом лежат на одной прямой. Три или большее число векторов назы-

ваются компланарными, если их представители с общим началом лежат в

одной плоскости. Коллинеарность, одинаковая направленность и противопо-

ложная направленность векторов обозначаются соответственно символамиог

b, ~a

" "

b, ~a

" #

b, компланарность векторов ~a; b;~c обозначается сим волом

Cp(~a; b;~c).

Сложение векторов. Пусть даны два вектора ~a и b. Пустьрн(O; A)

представитель вектора ~a с началом в точке O, (A; B) представителье

вектора

с началом в точке

. Тогда суммой

(рис. 2):

будет вектор !

OB:

~a + b =

Чтобы найти сумму n

векторов ~a1, ~a2, ..., ~aмn, нужно взять, во-первых,

представитель (O; A1) вектора ~a1 с началом втнекоторой точке O, во-вторых,

в точке A2

и т. д. до последнего

представитель (A1; A2) вектора ~a2 с началоми

вектора ~an. Тогда вектор, определяемыйрточкой O и концом взятого предста-

вителя ~an, будет искомой суммой ~a1

+~a2 + ::: +~an (правило многоугольника).

На рис. 3 показано сложение четыреху

векторов: ~u = ~a + b + ~c + d.

на представителях слагаемых, как на ребрах. Длина суммы векторов не больше суммы длин слагаемых.

Формальные свойства сложения векторов

1. Сложение векторов коммутативно

~ ~

~a + b = b + ~a:

ог

2. Сложение векторов ассоциативно

(~a + b) + ~c = ~a + (b + ~c):

3. (свойства нулевого и противоположного векторов)

~a + 0 = ~a; ~a + ( ~a) = 0:

Вычитание векторов. Вычитание действие, обратное сложению. Раз-

ностью ~a b

векторов ~a и b называется такойтивектор ~x, который при сло-

жении с вычитаемым вектором b

дает ум еньшаемый вектор ~a: ~x + b = ~a.

и~

Разность ~a b совпадает с суммой ~a +р(сb), то есть ~a b = ~a + ( b).

Геометрически разность ~a b находитьсяве

так: для векторов ~a и b берутся

их представители (O; A) и (O; B)нс общим началом O, тогда ~a b = ! (рис.

4).

Умножение вектора на число. Произведением ~a

(или ~a ) вектора

~a 6= 0на действительное число 6= 0называется новый вектор ~c, такой, что: 1) длина вектора ~c равна произведению длины вектора ~a на абсолютную

величину числа : j~cj = j~ajj j;

2) направление вектора ~c совпадает с направлением вектора ~a, если

положительное число, или противоположно ему, если число отрицатель-

ное: ~c "" ~a, если > 0; ~c "# ~a, если < 0.

Если ~a = 0 или = 0, то произведение ~a = 0. Обратно, из равенства

~a = 0 следует ~a = 0 или = 0.

Линейная комбинация векторов. Вектор ~u называется линейной ком-

ог

бинацией векторов ~a1, ~a2

, ..., ~an, если его можно представить следующимсоб-

разом: ~u = 1~a1

+ 2~a2 + ::: + n~an, где 1; 2

; :::; n

действительные ечисла,

которые называются коэффициентами линейной комбинации.

Векторы ~a1, ~a2, ..., ~an

называются линейно зависимыми, еслирсуществуют

числа 1; 2; :::; n, одновременно не равные нулю и такие, чтоЧ 1~a1 + 2~a2 +

::: + n~an = 0.

Формальные свойства умножения вектора на число

1. Умножение вектора на число ассоциативно относительно числового

множителя:

( ~a) = ( )~a:

2. Умножение вектора на число дистрибутивно относительно суммы век-

торов:

у~

(~a + b) = ~a + b:

3. Умножение вектора на число дистрибутивно относительно суммы чи-

сел:

~a( + ) = ~a + ~a :

Геометрические свойства сложения векторов и

умножения вектора на число

признак коллинеарности векторов). Для того чтобы два векто-

1 (первыйи

ра

о~aви b

6=0 были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существо-

в ло такое действительное число , чтобы выполнялось условие ~a = b.

2 (второй признак коллинеарности векторов). Два вектора коллинеарны

тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

3 (признак компланарности векторов). Три вектора в пространстве компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

Ортом ~a ненулевого вектора ~a называется вектор, длина которого равна

единице, одинаково направленный с ~a.

Справедлива формула ~a =

j~aj

Деление вектора на вектор. Операция деления вектора на вектор воз-

можна только для коллинеарных векторов. Частным

~c = ~c : ~a

от деления

вектора ~c на коллинеарный ему вектор ~a 6= 0называется число x, произве-

дение которого с делителем ~a дает делимый вектор ~c: x~a = ~c.

ог

Пример 1. Проверить на чертеже справедливость тождества:

рн

~a (~a + b) = b:

Решение. Пусть ! =

(рис. 5), тогда

! =

Имеем ! =

(! +

!).

С другой стороны, !

! =

Пример 2. В треугольнике ABC AM

точка пересечения

имедиана, O

медиан. Найти отношение

(рис. 6).

оРешение.

Так как !

"# !, то

= j !j

ар

j !j

З А Д А Ч И

, если

1. Даны векторы ~a = !,

= !,

!. Найти вектор

1) ~u = 3~a 2b + ~c,

3~c

2) ~u = 4b

2 .

2. Проверить на чертеже справедливость тождеств:

1) (~a + b) + (~a b) = 2~a,

2) (~a + b)

(~a b) = 2b,

~c = ~a

~c + b = b + ~a

+ ~

+ b

~a+b

ог

ск

~a2 b

+~b =

~a+b

6) (~a +

2) (b + 2 ) =

2(~a

b),

7) (~a + 2) + (b + 2 ) = 2(~a + b).

3. Какой геометрической особенностью должны обладать векторы ~a и b,

чтобы имело место равенство:

1) j~a + bj

= j~a bj,

2) j~a + bj

= j~aj + jbj,

им

3) j~a + bj

= j~aj jbj,

4) j

j j

= ~a

+ b

удовлетворять векторы ~a и

4. Какому геометрическому условию должныт

b, чтобы имело место соотношение:

1) j~a + bj

> j~aивbj,

2) j~a + bj

<уj~a

bj?

5. Какому геометрическому условию будут удовлетворять неколлинеар-

ные векторы p~

и ~q, если представитель вектора p~ + ~q с началом в некоторой

между представителем векторов p~ и ~q с началом

точке делит пополам уголв

в той же точке?

6. Дан параллелограммд

, выразить

ABCD. Полагая !

, ! =

через ~c и d

AB BC

CD DA

векторы !,

!, ! определяемые сторонами этого па-

раллелограмма.

. Выразить

7. В параллелограмме ABCD обозначены: !

и ! =

черезо

~a и b векторы !,

и !, где

есть точка пересечения

параллелограма.

диагоналейа

8. Точки K и L служат серединами сторон BC и CD параллелограмма

, выразить через

ABCD. Полагая ! =

и ! =

векторы !

и !.

9. В четырехугольнике ABCD (плоском или пространственном) положим

! = ,

= ,

= . Найти вектор

!, где

середины

m~ BC

~n CD

p~ DA

диагоналей AC и BD соответственно.

10. В правильном 8-угольнике ABCDEF GH положим

~a BC

, !

= ,

= . Выразить каждый из векторов:

!, !, !, !,

~c DE

BF BG F D DG DH

, , .

через

~a b ~c

11. Дан тетраэдр OABC. Полагая ! =

, ! = , выразить

MN P Q

середины ребер

через ~a, b и ~c векторы !,

!, где

ог

OB, OC, а N, Q, S середины противоположных ребер соответственно.к

12. Показать, что: 1) из ~a = b, 6= 0вытекает ~a

= b; 2) из ~aе=в ~a

вытекает = (сокращение равенств).

13. Дан правильный шестиугольник ABCDEF . Найти отношение векто-

ров:

, если они существуют.

14. В равностороннем треугольнике ABC M серединаГ

стороны BC, O

ответа

центр треугольника. Имеет ли смысл и в случае утвердительногоН

чему равно каждое из выражений:

1)!

: !;

AO AM

2) ! : !и;

MO AO

3)!

: !?

OAеOB

точка пересечения его диагоналей,

15. ABCD параллелограмм,унM

O точка пространства, отличнаяы

от M. Вычислить (!+

!+!+ !) :

векторы ~a, b, ~c коллинеарны (b

=0, ~c

=0), то

16. Показать, что еслив

уд

17. Дан собственный (то есть ненулевой и неразвернутый) угол AOB.

Векторык~a и b параллельны сторонам угла OA и OB соответственно. Найти

все векторы, параллельные биссектрисе угла AOB.

а 18. Точки F и E служат серединами сторон AB и CD четырехугольника

аABCD. Доказать, что

! + !

! =

F E

Вывести отсюда теоремы: 1) о средней линии трапеции, 2) о средней линии треугольника.

19.

На

сторонах

треугольника ABC

построены

параллелограммы

RL MN

P Q

ABML, BCP N, ACQR. Доказать, что из векторов !,

! и

! мож-

но составить треугольник.1

20. Проверить, что из векторов, определяемых медианами треугольника,

можно составить другой треугольник.

21. Из медиан треугольника ABC построен новый треугольник A1B1C1,

ог

а из его медиан треугольник A2B2C2. Показать, что треугольники A1B1кC1

и A2B2C2 подобны, и найти отношение подобия.

22. Как изменится сумма компланарных векторов, если все слагаемые

векторы будут повернуты в одном и том же направлении на одинн тот же

угол?

23. Доказать, что сумма парных произведений длины каждой стороны

треугольника на единичный вектор, перпендикулярный к этой стороне, равна

от соответству-

нулю. (Предполагается, что единичные векторы направленыи

ющих сторон треугольника или все три во внутреннюю область треугольни-

ка, или все три во внешнюю область).

центром правильного

24. Доказать, что сумма векторов, определяемыхт

n-угольника и его вершинами, равна нулю.

25. К точке приложены четыревразличные компланарные силы F1, F2,

~ ~

, F4

одинаковой величины F . Зная, что углы между F1

и F2, F2

и F3, F3 и

F~4

равны 72 , найти величинуйи направление равнодействующей.

а2. РАДИУС-ВЕКТОР ТОЧКИ

точку пространства O назовем началом или полюсом.

Фиксированнуюо

точки A называется вектор

!, определяемый точ-

Радиусом-вектором ~rA

A ~r

ками сO и

(рис. 7). Пишут

A =

(

A), если

A является радиусом-

векоором точки A.

Между точками пространства и их радиусами-векторами (при выбранном

полюсе) существует взаимно-однозначное соответствие, то есть каждой точке

пространства соответствует определенный радиус-вектор и разным точкам соответствуют разные радиусы-векторы.

! ! !

1То есть существуют представители векторов RL, MN и P Q образующие треугольник.

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.06.2015292.35 Кб12Салическая Правда_полный.doc
#
10.09.2019158.72 Кб0самост. изучен е.doc
#
23.11.2019479.74 Кб20Сапонины.doc
#
17.11.201837.42 Кб6Саратовский государственный университет и1.docx
#
28.04.20191.02 Mб53САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.docx
#
29.03.2016822.4 Кб116Сборник задач по векторной алгебре.pdf
#
09.06.2015193.07 Кб112Сборник задач по микроэкономике.docx
#
09.06.2015738.14 Кб472Сборник задач по экономике .pdf
#
09.06.2015714.75 Кб712Сборник задач по экономике_Челнокова О.Ю.doc
#
12.11.2019294.91 Кб4СБТ Показатель качества в нашей стране в те дал...doc
#
26.08.201928.34 Кб2своя игра.docx