- •5. Линейное пространство. Евклидово и унитарное пространства
- •6. Линейные операторы и их свойства
- •Линейные преобразования евклидова пространства
- •7. Действительные числа. Функция действительной переменной. Предел функции. Непрерывные функции.
- •8. Производная и дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
- •9. Основные теоремы дифференциального исчисления и их применения
- •10. Первообразная и неопределенный интеграл
- •4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •6. Интеграл вида если функцияR является нечетной относительно cosx.
- •11. Определенный интеграл Римана, его свойства. Применения к вычислению геометрических, физических и механических величин Определенный интеграл
- •12. Функции нескольких действительных переменных.
- •13. Частные производные и дифференцируемость ф-ции в точке. Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных
- •14. Неявная и обратная функции. Экстремумы
- •15. Числовые ряды и их сходимость.
- •16. Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды. Ряд Тейлора.
- •2) Дифференцирование степенных рядов.
- •3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.
- •18. Ряды Фурье. Преобразование Фурье. Интеграл Фурье
- •Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •Представление непериодической функции ряда Фурье
- •Тригонометрический ряд Фурье в комплексной области
- •Свойства ряда Фурье
- •- Неравенство Бесселя.
- •- Равенство Парсеваля,
- •Понятие об интеграле Фурье и об преобразовании Фурье
- •19. Мера Лебега, измеримые множества и функции
- •20. Интеграл Лебега и его свойства.
- •21. Ф-ции комплексной переменной. Диф-ние и инт-ние. Теорема Коши.
- •22. Ряды Тейлора и Лорана. Вычеты
- •Аналитические функции и их разложение в степенные ряды.
- •Свойства максимума модуля аналитических и гармонических функций.
- •Ряд Тейлора.
- •Ряд Лорана.
- •Изолированные особые точки аналитических функций и их классификация.
- •Вычеты и основная теорема о вычетах.
- •Применение к вычислению интегралов.
- •23. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент
- •24. Численные методы в алгебре
- •Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений
- •Вычисление определителей и обращение матриц
- •Итерационные методы
- •Достаточное условие сходимости итерационного процесса
- •25. Решение нелинейных уравнений и систем уравнений
- •26. Приближение функций.
- •27. Численное дифференцирование. Численное интегрирование
- •28. Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методами Эйлера, Эйлера – Коши, Рунге – Кутты. Метод конечных разностей.
- •29. Разностные методы решения задач математической физики.
- •33. Линейные уравнения и системы.
- •34.Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами
- •35. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
- •Простейшие типы точек покоя. Автономные динамические системы двух уравнений первого порядка. Типы особых точек на фазовой плоскости
- •№37 Физические задачи, приводящие к уравнению параболического типа
- •Интеграл Пуассона
- •39. Алгебра логики
- •3. Основные законы логики.
- •4. Логические функции.
- •5. Нормальные формы. Совершенные нормальные формы.
- •Алгоритм построения сднф.
- •6. Арифметические операции в алгебре логики. Полином Жегалкина.
- •7. Полнота и замкнутость (примеры полных систем). Теорема Поста.
- •Свойства отношений.
- •40. Графы и их свойства
- •41. Маршруты в графах и деревья
- •41. Маршруты в графах и деревья
5. Линейное пространство. Евклидово и унитарное пространства
Множество называетсявекторным (линейным) пространством над полем , если
имеется правило, посредством которого для ставится в соответствие третий элемент, называемый суммой элементови;
имеется правило, посредством которого иставится в соответствие элементили, называемый произведением элементана число;
указанные два правила подчинены следующим восьми аксиомам:
(переместительное свойство суммы);
(сочетательное свойство суммы);
такой, что (особая роль нулевого элемента);
такой, что (особая роль противоположного элемента);
(особая роль числового множителя 1);
(сочетательное относительно числового множителя свойство);
(распределительное относительно суммы числовых множителей свойство);
(распределительное относительно суммы элементов свойство).
Элементы векторного пространства называются векторами, а числа из (можно рассматривать и поле) –скалярами.
Скалярным произведением называется отображение :, где имеют место аксиомы, при:
1) - симметрия,
2) - аддитивность,
3) - однородность,
4) a ≠0
Векторное пространство с введённым на нём скалярным произведением называется евклидовым (унитарным) пространством.
Линейная зависимость векторов.
Упорядоченная система чисел называется -мерным вектором.
(-ая декартова степень поля)
. Алгебраическая операция:
Опр.:
Опр.: Система (совокупность) векторов (1) - линейно зависимая, если найдутся(2) не все равные нулю(хотя бы одно не равно нулю), что(3)- линейная комбинация системы (1) с коэффициентами из системы (2) равна нулевому вектору.
Опр.: Система (1) называется линейно независимой, если линейная комбинация (3) равна - лишь в единственном случае, когда
Св-ва:
1)Всякая система (1), содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой. (1),
2)Всякая система, содержащая коллинеарные (параллельные) векторы, является линейно зависимой.
3)некоторая подсистема системы (1) линейно зависимая (1), тогда и вся система л. з.(1) л. з.
Основная теорема о линейной зависимости.
Пусть даны a1,a2,…, ar(1); b1, b2,…,bs(2), (1) – л.н.з. и каждый вектор (1) системы линейно выражается через (2), r≤s. aj = |j=1,2…r., (3), тогда система (1) - л. з. система.
Д-во. Коэф-ты лин. выражений (3) составляют систему из r s-мерных векторов: . Т.к.r>s, то эти век-ры лин. зав-мы,т.е. , где не все коэф-тыk1,k2,…,kr равны 0. Отсюда: (4). Рассм. след. лин. комб-ю век-ров сист. (1):или. Используя (3) и (4), получаем:, а это противоречит лин. незав-ти сист. (1). ч.т.д.
Конечномер. лин. пр-ва, базис, размерность. Лин. подпр-ва, лин. оболоч.
Лин. пр-во V наз. конечномерным, если в нем можно найти конечную максимальную линейно независимую систему векторов (м.л.н.з. система - если добавление к ней любого вектора даёт уже л.н.з. систему). Всякая такая система – база пр-ва V(две базы состоят из одинакового количества векторов). Пусть дано конечномерное пространство , возьмём в нёмa1,a2,…,as(1) векторов. Кол-во векторов, входящих в базу этого пр-ва, наз-сяразмерностью этого пр-ва. Рассмотрим всевозм. лин. комб. сист(1): {α1a1 + α2a2 + … + αSas | αi полю P}(2) V. ] a = α1a1 +…+ αsas , b = β1a1 +…+ βsaS => a+b = (α1+β1)a1 + … + (αs+βS)as и γa = (γα1)a1 +…+ (γαs)as(2) => (2) – подпр-во, порожд. сист. (1), <(a1,a2,…,as), + , α> - лин. оболочка (1) (т.е. пространство векторов, натянутых на систему): , где,-поле комплексных чисел.
Подмн-во L лин. пр-ва V наз-ся лин. подпростр-вом этого пр-ва, если оно само явл-ся лин. пр-вом по отн-ю к определённым в V операциям сложения векторов и умножения вектора на число. Для того, чтобы непустое L было лин. подпр-вом V, достаточно: 1) если векторы a и b принадл. L, то a+b – тоже принадл. L; 2) если a принадл. L, то αa – принадл. L при любом α.
Преобразование координат вектора при изменении базиса.
Две системы векторов пространства ,являются базами данного пространства, когда сущ-ют две невырожденные матрицыи, что.Различных баз в -мерном пр-ве над полем сущ-ет столько, сколько сущ-ет различных невырожденных матриц -го порядка из.
Линейные многообразия.
Подпр-во ,- линейное многообразие пр-ваVn, получ. сдвигом пр-ва на вектор.
Т-ма: Многообразие можно получить сдвигом лишь единственного векторного пр-ва: .
Д-во. ] M = {a+Vm}={a′+Vm′}. .. a+y = a′+y′...
Т-ма: Всякое лин. многообр. можно задать сист. лин-х неодн. уравнений.
Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации.
Опр.: Два вектора называютсяортогональными (перпендикулярны), если -скалярное произведение. Система векторов ортогональная, если
Т-ма: Любая сист. попарно ортогональных векторов пр-ва л.н.з.
Замеч.: Если в имеемштук ортог. л.н.з. векторов, значит это база.
Т-ма (Метод Шмидта): Каждую л.н.з. систему векторов можно преобразовать в ортогональную систему векторов(в частности каждую базу можно преобразовать в ортог. базу).
Опр.: Вектор называется нормированным, если -скаляр. квадрат=1
Зам.: Любой ненулевой вектор можно нормировать.
Т-ма: База евклид. пр-ва явл-ся ортонормированной , когда скаляр. произведение двух любых векторов взятых в данной базе = сумме произведения одноимённых координат.- ортонор. база
Ортогональное дополнение.
-подпространство,
Ортогональное дополнение к подпространству: - всевозможные векторы Евклид. пр-ва ортогон. ко всем векторам всех подпространств.
Геометрические св-ва мн-ва решений сист. лин-х алг-х ур-й с т. зрения факторов лин. пр-ва.
Мн-во решений сист. лин-х однор. ур-й – векторное пр-во.
Мн-во решений сист. лин-х неоднор. ур-й – многообразие.