Вышка
.pdf210. Знайти роботу потрібну на будування споруди у формі правильної усіченої чотирикутної піраміди, висотою Н, стороною нижньої основи а і
стороною верхньої основі b. Гущина матеріалу .
У задачах 211-220 знайти загальний розв’язок диференційних рівнянь.
211. а) |
xy y ln y 0 |
б) |
x |
3 |
y |
|
x |
2 |
y |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
212. а)
ln(cos x) y ytgx 0
б)
x |
2 |
y xy 1 |
|
213. а)
(1 x |
2 |
) y y arctgx |
|
б)
xy y x |
2 |
e |
x |
|
|
214.а)
215.а)
216.а)
217.а)
xy |
y xy |
2 |
ln x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
(x |
2 |
y x |
2 |
)dy |
(xy |
2 |
y |
2 |
)dx |
|||
|
|
|
|
|||||||||
y sin(x y) sin(x y) |
||||||||||||
(2xy 3)dy y |
2 |
dx 0 |
|
|
||||||||
|
|
|
б)
б)
б)
б)
y |
y |
x(x |
1) |
||
x |
|||||
|
1 |
|
|
||
y ctgx y 2 |
|
|
|||
y x y |
x sin |
y |
|
||
x |
|
||||
|
|
|
|
||
y x y ln x |
|
|
|
xy 2x |
2 |
|
|
б) y 2 y |
|
218. а) |
y 4 y |
|||||
|
|
219. а)
2xdy (1 x) sin |
2 |
ytgydx 0 |
|
б)
y sin |
2 |
x x sin 2xy |
|
220. а) y |
ex y |
x |
|
||
|
ex 1 |
б)
2 yy 3( y ) |
2 |
4 y |
2 |
|
|
У задачах 221-230 знайти частинний розв’язок диференційного рівняння.
221. y |
|
2 y |
|
x |
2 |
1, |
|
0, |
y(0) 1. |
|
|
|
y (0) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
222.
y y sin 2x, |
y (0) |
1 |
, |
|
3 |
||||
|
|
|
y(0)
1
.
223.
224.
225.
226.
227.
228.
y |
|
3y |
|
2 y e |
x |
, |
|
|
|
|
|
y(0) 1. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y (0) 0, |
|
|
|
|||||||||||
y |
|
2 y |
|
2 y 1 x |
2 |
, |
|
|
|
y(0) 2 . |
|
|||||||||
|
|
|
|
y (0) 1, |
|
|||||||||||||||
y |
|
2 y |
|
10 y 10 x |
2 |
18 x 6, |
|
|
|
|
y(0) 1 . |
|||||||||
|
|
|
|
y (0) 3,2, |
||||||||||||||||
y |
|
y |
|
|
2 y 3e |
2x |
, |
|
|
|
|
|
y(0) 2 . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
y (0) 5, |
|
|
|
|||||||||||
y |
|
2 y |
|
8 y 16 x |
2 |
|
2, |
|
5, |
y(0) 0 . |
||||||||||
|
|
|
y (0) |
|||||||||||||||||
|
|
4y |
|
4cos2x 12sin 2x, |
|
|
1, |
y(0) 2 . |
||||||||||||
y |
|
|
y (0) |
229.
y 3y x |
2 |
3x, |
y (0) 3, |
|
y(0)
0
.
230.
y 2 y y 3e |
x |
, |
y (0) 1, |
|
y(0)
0
.
У задачах 231-240
рівнянь.
dx 2x y
231.dt
dy 3x 2 y
dt
|
dx |
|
5x |
8 y |
||
|
|
dt |
|
|||
232. |
|
|
|
|||
|
dy |
|
|
|
||
|
|
|
3x |
3y |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
||
|
dx |
|
6x |
3y |
||
|
|
|
|
|||
233. |
dt |
|||||
|
dy |
|
|
|
||
|
|
|
8x 5 y |
|||
|
|
dt |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
dx |
|
x 5 y |
|||
|
|
|
|
|
||
234. |
|
dt |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
dy |
|
2x |
y |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dt |
|
|
|
знайти загальний розв’язок системи диференційних
|
dx |
7x y |
|
|
|
|
dt |
|
|
236. |
|
|
||
|
dy |
|
|
|
|
|
x 5y 14e |
6t |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
dx x 2 y
237.dt
dy x 3y
dt
|
dx |
|
8 y x |
|
|
|
dt |
|
|
238. |
|
|
||
|
dy |
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dx |
|
3x y |
|
|
|
|
|
|
239. |
dt |
|||
|
dy |
|
|
|
|
|
|
4x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
31
235.
dx |
2x y |
|
||
|
dt |
|
||
|
|
|||
|
dy |
|
|
|
|
10x 5 y 10 |
6t |
||
|
||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
240.
dx |
y 7x |
||
|
dt |
||
|
|||
|
dy |
|
|
|
2x 5 y |
||
|
|||
|
|
|
|
dt |
|
У задачах 241-250 виконати вказані завдання.
241.матеріальна точка рухається зі швидкістю обернено пропорційною пройденій відстані. У початковий момент часу точка знаходилась на відстані 3
мвід початку відліку та мала швидкість 15 м/с. Визначити пройдений шлях та швидкість точки через 7 с після початку руху.
242.Знайти рівняння кривої, яка проходить через початок координат та володіє властивістю: кутовий коефіцієнт дотичної у будь-якій її точці дорівнює сумі координат тієї ж точці.
243.Чан циліндричної форми з вертикальною віссю заввишки 6 м і діаметром 4 м має в дні отвір радіуса 1/12 м. Знайти час, за який вода витиче із заповненого чана.
244.Знайти лінію, яка проходить через точку М(3;4), якщо кутовий коефіцієнт дотичної до неї у будь-який точці у два рази менше за кутовий коефіцієнт радіуса-вектора точки дотику.
245.Швидкість зміни температурі тіла пропорційна різниці температур тіла і навколишнього середовища. Нагріте до 100°С тіло охолодилось до 60°С
при температурі навколишнього повітря 20°С за 20 хвилин. Через скільки хвилин температура тіла зменшиться до 25°С.
246.Знайти сім’ю кривих, у яких початкова ордината будь-якої дотичної на 2 одиниці менше за абсцису точки дотику.
247.Моторний човен рухається в стоячій воді із швидкістю 20 км/год.
Через 40 с після того як двигун вимикають, швидкість човна зменшується до 8
км/год. Опір води пропорційний швидкості руху човна. Визначити швидкість човна через 2 хвилини після зупинки двигуна.
32
248. Знайти криву, яка проходить через точку М(1;1) та має таку властивість, що відрізок, який відсікає на осі ординат дотична, дорівнює квадрату абсциси точки дотику.
249. Маса пілота з парашутом становить 80 кг. Опір повітря при опусканні парашута пропорційне квадрату його швидкості (k = 400). Визначить швидкість опускання залежно від часу.
250. Знайти лінію, яка проходить через точку М(2;0), якщо відрізок дотичної між точкою дотику і віссю ординат має сталу довжину l = 2.
У задачах 251 – 260 Дослідити на збіжність числові ряди
|
|
|
5n |
2 |
|||
251. |
|
||||||
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
4n |
3 |
|||
252. |
|
|
|||||
5n |
2 |
1 |
|||||
|
|
||||||
|
n 1 |
|
|||||
|
|
|
n |
2 |
1 |
||
253. |
|
5n |
2 |
3 |
|||
|
|
||||||
|
n 1 |
|
256.
257.
258.
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 n 5 ln n |
|
|||||
|
|
2n 1 |
|
n |
||
|
||||||
|
|
|||||
|
5n 3 |
|
|
|||
n 1 |
|
|
|
|||
|
3n 5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
n! |
|
|
|
||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
254. |
|
|
n 1 |
|
|
255. |
|
|
n 1 |
3n 5
3 n
4n 1 |
|
e |
n |
|
6 n
259.n!n 1
|
|
2n 1 |
n2 |
|
|
||||
260. |
|
|
|
|
|
|
|||
n 1 |
|
2n 3 |
|
У задачах 261 – 270 дослідити числові ряди на абсолютну та умовну збіжність
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
( 1) |
n |
|
|
3n 1 |
|
|
|
( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
261. |
|
|
266. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n |
n |
n 2 |
|
|||||||||
n 1 |
|
2 |
|
|
|
n 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
( 1) |
n |
n |
|
|
( 1) |
n |
(5n |
1) |
|||||
262. |
|
267. |
|
||||||||||||
5n2 1 |
|
|
n! |
|
|||||||||||
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
263. |
|
|
n 2 |
|
|
264. |
|
|
n 1 |
|
|
265. |
|
n 1
( 1) |
n |
||
|
|||
n |
3 |
ln n |
|
|
( 1) |
n |
|
1 |
|
|||
|
2n 3 |
||
|
|
|
2 |
( 1)n 3n 1
2n
268.
270.
|
( 1) |
n |
|
||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
269. |
||
|
n 1 |
|
|
( 1) |
n |
|
|
|
n 1 |
n |
3n 5
n!
1 n (n3 n) n6 1
n2
1 !
У задачах 271 - 280 знайти область збіжності степеневих рядів та дослідити їх поведінку в граничних точках інтервалу збіжності
271. а)
272. а) |
|
|
|
273. а) |
|
|
|
274. а) |
|
|
|
275. а) |
|
|
|
276. а) |
|
|
|
277. а) |
|
|
x 1 x |
1 |
2 |
|
|
x |
1 |
3 |
|
|
... |
|
б) 2 x |
0 |
|
|
2 |
2 |
|
x |
2 |
3 |
x |
2 |
... |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
||||||||||||||||||
3x 2 |
|
|
|
|
|
3x 2 |
|
2 |
|
|
|
3x 2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
4 |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 4 |
|
|
x 4 |
|
2 |
|
|
|
|
x 4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 2 |
2 |
|
|
|
|
... |
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
... |
||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
5 |
4 |
|
|
|
8 |
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x 2 |
|
|
x 2 |
2 |
|
|
|
|
x 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
... |
б) |
|
1! |
|
|
3! |
|
|
|
5! |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x 5 |
|
|
|
x 5 |
2 |
|
|
|
|
|
x 5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
2 x |
2 |
|
|
4 x |
4 |
|
|
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
... |
|
б) |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
... |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x 2 |
|
|
x 2 |
2 |
|
|
|
|
x 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
... |
б) |
|
2 5 |
|
3 8 |
|
4 11 |
... |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3x 2 |
|
|
3x 2 |
2 |
|
|
|
|
3x 2 |
3 |
|
|
|
|
5 x |
|
|
5 |
|
|
x |
|
|
|
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
3! |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
278. а)
5x 3 |
|
5x 3 |
2 |
|
5x 3 |
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
9 |
|
2 9 |
2 |
|
|
3 9 |
3 |
... |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
б)
x |
0 |
|
|
x |
|
x |
2 |
|
|
|
|
... |
|||
3 |
|
3 |
|
3 |
|||
1 |
|
2 |
|
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
x 3 2 |
|
x 3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
2 x3 |
|
|
3 x5 |
||||||||
279. а) |
|
|
|
|
... б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
1! |
|
2! |
|
3! |
|||||||||||
|
1 |
|
4 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
280. а) |
2x 3 |
|
2 |
||
|
У задачах 281
|
|
2x 3 |
2 |
|
2x 3 |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
5 |
2 |
|
|
8 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 290 розвинути функцію
f
...
(x)
|
3 x |
|
5 x |
2 |
7 x |
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
в ряд Тейлора в околі точки
...
x0
281. f (x) 3 |
x 5, |
x 3 |
|
|
0 |
282. f (x) |
1 |
, x0 |
5 |
|
|
||||
x 4 |
||||
|
|
|
283. |
f (x) e |
4 x |
, |
x |
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
284. |
f ( x) x |
3 |
, |
x |
|
1 |
|
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
285. |
f (x) |
x, |
x |
|
16 |
||
|
|
|
|
0 |
|
|
286. |
f ( x) sin |
x |
|
, |
x |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
287. |
f (x) |
1 |
, |
|
x |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
288. |
f ( x) 3 |
x |
, |
|
x |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f (x) 5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
289. |
|
|
x , |
|
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
290. |
f (x) cos(3x), |
x |
|
|
||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У задачах 291 - 300
розвинення в ряд Маклорена
знайти |
три |
функції |
f (x |
перших, відмінних від нуля члени
)
291.
f ( x) |
x 1 |
|
|
( x 3) |
2 |
||
|
|||
|
|
296.
f ( x) 9 |
x |
|
292.
293.
294.
295.
f ( x) |
|
1 |
|
|
x 5 |
||||
|
||||
f (x) e |
1 x |
2 |
||
|
||||
|
|
|||
f ( x) |
|
1 |
|
|
cos x |
||||
|
f (x) ex cos x
297.
298.
299.
300.
f (x) e |
sin x |
|
|
|
|
|
|
f (x) 3 |
x |
cos x |
|
|
|||
f (x) tgx |
|
||
f ( x) sin( x |
) |
||
|
|
|
6 |
У задачах 301 – 310 обчислити площу фігури, яка обмежена заданими лініями. Обчислення зробити з точністю до 10 3
35
301.
302.
303.
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y( x) e |
3 |
, |
y 0, |
x 0, |
x 1 |
|||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
y(x) |
1 x |
3 |
, |
y 0, |
x 0, |
x |
1 |
||
|
|||||||||
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y( x) sin x , |
|
y 0, |
x 0, |
x 1 |
|
304. y(x) arctgx3, |
y 0, |
x |
1 |
, |
x 1 |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
305.
306.
307.
308.
|
|
|
|
3 |
), |
y 0, |
x 0, |
|
x 1 |
|||||
y(x) ln(1 x |
|
|
||||||||||||
y( x) |
3 |
27 x |
3 |
, |
y 0, |
x 0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y(x) cos 3x |
2 |
|
, |
y 0, |
x 0, |
|
x |
1 |
||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x) x |
2 |
sin x |
2 |
, |
y 0, |
x |
1 |
, |
x 1 |
|||||
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
309.
y(x) |
6 |
1 x |
2 |
, |
y 0, |
x |
1 |
, |
x 1 |
|
|||||||||
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
310.
y( x) ln |
|
1 |
|
1 |
|
, |
y 0, |
x |
1 |
, |
x 1 |
||
|
x |
2 |
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У задачах 311 - 320 знайти перші три розвинення в ряд Маклорена частинного розв’язку рівняння
311. y x y, |
y(0) 1 |
316. |
(відмінні |
від нуля) члени |
y y(x) |
диференціального |
|
|
y3 |
|
|
|
y |
sin x 3 |
, |
y(0) 2 |
||
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
||
312. y |
1 |
x y |
, |
|||
|
313.y 2 cos x y2 ,
314.y 2ex x y,
y(0) 1 |
317. |
y e y x, |
y(0) 4 |
|||||||
y(0) 1 |
318. y x2 |
x y, |
y(0) 6 |
|||||||
y(0) 2 |
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
319. |
y |
e |
|
y , |
y(0) 8 |
|||||
|
|
36
315.
y x x |
3 |
3 |
, |
y(0) 3 |
|
y |
320.
y sin |
2 |
x y |
2 |
, |
y(0) 3 |
|
|
У задачах 321 – 330 розвинути функцію
( , )
f (x)
в ряд Фур’є в інтервалі
321.
322.
323.
324.
325.
f (x) |
0 |
при |
x 0, |
|
|
0 x |
|
|
x |
при |
|
f ( x) |
2 |
при |
x 0, |
|
|
0 x |
|
|
1 |
при |
|
f (x) x 2 |
|
||
f ( x) |
x |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
f ( x) 3x 1
|
|
|
|
x 0, |
||
|
|
1 |
при |
|||
326. |
f ( x) |
|
|
0 x |
||
|
3 |
при |
||||
327. |
f (x) 3x 5 |
|
|
|
||
|
f (x) |
x 1 |
при |
x 0, |
||
328. |
|
|
|
0 x |
||
|
|
0 |
при |
|||
|
f (x) |
2x |
при |
x 0, |
||
329. |
|
|
|
0 x |
||
|
|
0 |
при |
|||
330. |
f ( x) |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
У задачах 331 – 340 вичислити повторний інтеграл змінивши порядок
інтегрування
331.
332.
333.
334.
1 |
3 |
y |
|
|
|
2 |
|
2 y |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
dy |
|
(4xy 6)dx |
dy |
(4xy 6)dx |
|||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
dy |
|
(x 2 y)dx dy |
(x 2 y)dx |
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 y |
|
y |
||||||||
1 |
|
0 |
|
|
e |
|
ln y |
|
|
|
|
dy |
|
|
(x 2)dx dy |
(x 2)dx |
|||||||
0 |
|
y |
0 |
|
1 |
|
|
|
|||
0 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
dy |
(4xy3 1)dx |
dy (4xy3 1)dx |
|||||||||
1 |
|
y |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
37
335.
336.
337.
0 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
dx ( y 4x |
)dy dx |
|
( y 4x |
)dy |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
y |
|
|
|
0 |
|
2x |
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
( y 4xy)dy dx |
|
|
( y 4xy)dy |
||||||||||
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||
dy |
(6xy |
6)dx dy |
|
|
(6xy |
6)dx |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
338.
339.
1 y e 1
dy (2 y 2x)dx dy (2 y 2x)dx
0 |
0 |
1 |
ln y |
|
2 |
y / 2 |
3 |
|
3 y |
dy |
(2xy 4)dx dy |
(2xy 4)dx |
340.
0 |
0 |
|
|
3 |
2 |
4 x |
2 |
|
|||
|
dx |
3xydx |
|
2 |
|
0 |
|
|
2 |
|
4 x |
2 |
|
|
|
||
|
|
dx |
3xydx |
0 |
0 |
3 |
0 |
У задачах 341 – 350 за допомогою подвійного інтегралу знайти об’єм тіла, обмеженого даними поверхнями.
341. а) |
y 1 x |
2 |
; |
y x x |
2 |
; |
|
z 0; |
|
z x. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
б) |
x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
|
16; |
|
x |
2 |
y |
2 |
4; |
x |
2 |
y |
2 |
4. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
342. а) |
y 2x |
2 |
; |
|
y x 3; |
|
|
z 0; |
z 2x, |
x 0. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
|
9; |
x |
2 |
y |
2 |
3y. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
343. а) |
x y |
2 |
; |
|
|
y z 1; |
|
x 1; |
y 0, |
z 0. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) x2 y2 |
2 y; |
|
z 1,25 x2; |
z 0. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
344. а) xy 4; |
|
|
y x; |
|
z x; |
|
x 4, |
|
z 0. |
б) x2 y2 6x; |
x2 y2 9x; |
z x2 y2 ; |
z 0; |
y 0. |
|||
345. а) y x3; |
y x2 0; |
x 1; |
z x, |
z 0. |
|
||
|
|
|
38 |
|
|
|
|
б) |
x |
2 |
y |
2 |
1; |
|
|
z |
1 x |
2 |
; |
|
z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
346. а) |
y |
2 |
x; |
|
|
|
y |
2 |
2 x; |
|
|
z 2 y; |
z 0, |
y 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
x |
2 |
y |
2 |
8; |
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
2z |
2 |
; |
z 0; |
|
z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
347. а) x2 y2 |
8; |
|
x |
|
|
|
|
x 0; |
|
z 0; |
|
z |
30y |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 y; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
; |
|
|
y x; |
|
y 0; |
z 2; |
|
x 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
348. а) |
xy 8; |
|
|
y x |
2 |
; |
|
z 16 x |
2 |
; |
z 0; |
y 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
б) x2 y2 4x 0; |
|
z 8 y2; |
z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
349. а) |
x |
2 |
y |
2 |
9; |
|
y |
7 x |
2 |
; |
z y; |
|
z |
0; |
z 0; |
x |
2 |
y |
2 |
9. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
z x |
2 |
y |
2 |
; |
|
|
|
z 2x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
350. а) |
z 4 x |
2 |
; |
|
y 0; |
|
y x; |
|
z 0, |
x 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
z y |
2 |
; |
x |
2 |
y |
2 |
1; |
|
z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У задачах 351 – 360 за допомогою подвійного інтегралу знайти координати центру мас та моменти інерції відносно координатних осів однорідної пластині з поверхневої густиною , обмежених заданими лініями:
351.
352.
353.
354.
355.
356.
357.
y (x 2) |
3 |
; |
y |
|||
|
||||||
y x |
2 |
; |
y |
2. |
||
|
y x2; |
|
y |
|
1 |
|
; |
|
|
x |
||||
|
|
|
|
|
||
y 2 x |
2 |
; |
y |
|||
|
||||||
y x3; |
x 2; |
|
||||
y2 x; |
x 0; |
|
||||
y ex ; |
x 0; |
|
x 2; |
x 0. |
y 4; x 0,25 .
1 |
. |
|
y 0.
y 2.
x 1; |
y 0. |
39