AG

1. Цели освоения дисциплины

Дисциплина «Алгебра и геометрия» знакомит студентов с методами и основными фактами аналитической геометрии, теории чисел и алгебры многочленов, а также линейной алгебры в конечномерных пространствах, которые совместно образуют базис для успешного изучения других математических дисциплин, механики, физики, программирования и их приложений. Основная цель освоения дисциплины - приобретение студентами теоретических знаний и навыков решения задач в указанных областях; приобретение студентами математической культуры строгих рассуждений и доказательств.

Для достижения поставленной цели выделяются следующие задачи курса:

Задача 1 семестра - овладение основами аналитической геометрии, элементами абстрактной алгебры и теории чисел.

Задача 2-го семестра - овладение основами алгебры многочленов, алгебры линейных операторов, теории билинейных и квадратичных форм, классификацией поверхностей второго порядка в конечномерных евклидовых пространствах.

2.Место дисциплины в структуре образовательной программы

Дисциплина «Алгебра и геометрия» относится к базовой части цикла математических и естественнонаучных дисциплин ОП бакалавра.

Содержание дисциплины – основные понятия, факты и практические навыки решения задач – используется во многих как параллельных, так и последующих дисциплинах бакалавриата ФИТ, в частности : «Математический анализ», «Вычислительная математика», «Дифференциальные уравнения и теории функций комплексного переменного», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Дискретная математика», «Физика-1», «Физика-2», «Введение в теорию кодирования».

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисципли-

ны

Дисциплина участвует в формировании следующих компетенций:

ОК-1 владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения

ОК-2 умеет логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь

ОК-6 стремится к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства

3

ОК-10 использует основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применяет методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования

В результате освоения дисциплины студент должен:

Знать основные определения и теоремы аналитической геометрии, линейной алгебры, модулярной арифметики и алгебры многочленов.

Уметь

решать стандартные задачи аналитической геометрии, системы линейных уравнений, задачу на собственные векторы и собственные значения линейного оператора, задачу об ортогонализации системы векторов в евклидовых и эрмитовых пространствах, задачу о приведении к каноническому виду самосопряженных операторов, ортогональных и унитарных операторов, задачу о сингулярном и полярном разложении комплексных матриц, задачу приведения квадратичной формы и уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду,

решать линейные диофантовы уравнения в кольце целых чисел и алгебре многочленов,

решать линейные сравнения и распознавать разрешимость квадратичных сравнений,

использовать дискретный логарифм в модулярной арифметике, конструировать конечные поля.

Владеть

методами перевода задач с языка геометрии на язык алгебры и наоборот как для пространств малой размерности, так и для многомерных пространств,

владеть аксиоматическим методом выделения и исследования основных алгебраических структур.

4

4. Структура и содержание дисциплины

Общая трудоемкость дисциплины составляет 10 зачетных единиц, 360 часов.

5

В курсе «Алгебра и геометрия» объединены три стандартных дисциплины: «Аналитическая геометрия», «Линейная алгебра и геометрия», «Введение в теорию чисел». Опишем кратко увязку тем курса в единое целое.

Сначала это векторная алгебра геометрических векторов на плоскости и в пространстве, декартовы координаты, скалярное произведение, векторное и смешанное произведение, определители малых порядков, уравнения прямых и плоскостей, эллипс, гипербола, парабола, их замечательные свойства и классификация плоских кривых второго порядка, поверхности второго порядка в трехмерном евклидовом пространстве и их замечательные свойства.

Далее -- базис линейной алгебры, обобщающей аналитическую геометрию (группы, кольца, поля, векторные пространства, алгебры, поле комплексных чисел, алгебра матриц). Метод Гаусса решения систем линейных уравнений используется не только для геометрического описания множества решений, вычисления фундаментальной системы решений и общего решения, но и для корректного определения размерности абстрактных конечномерных векторных пространств. Изучается определитель порядка n, его свойства и методы вычисления, обращение матриц и решение крамеровых систем линейных уравнений. Теорема о ранге для матриц связывается с заданием подпространств системами линейных уравнений и поиском базисов суммы и пересечения подпространств координатного пространства.

Конец первого семестра посвящен началам целочисленной и модулярной арифметики: от деления с остатком, алгоритма Евклида, решения линейных диофантовых уравнений и основной теоремы арифметики к кольцам и полям вычетов, китайской теореме об остатках, цикличности мультипликативной группы конечного поля, дискретному логарифму и описанию RSA-криптографии вплоть до критерия разрешимости квадратичных уравнений по модулю натурального числа с помощью вычисления символов Лежандра и Якоби.

Второй семестр начинается с изучения алгебры многочленов (корни и значения многочленов, формула Тейлора, интерполяционная формула, разложение комплексных и вещественных многочленов на линейные и квадратичные множители). Понятие кольца вычетов по модулю натурального числа распространяется с кольца целых чисел на алгебру многочленов с целью доказать теорему о существовании корня для многочлена, построить все конечные поля с помощью неприводимых многочленов и охарактеризовать их с точностью до изоморфизма.

Далее изучаются основы линейной алгебры, которые включают теорию линейных операторов векторных пространств и связь с матрицами, теорию собственных векторов и собственных значений, жорданову форму матрицы и функции от

6

матриц (без доказательства), аксиоматику абстрактных евклидовых и эрмитовых пространств и теорию линейных операторов евклидовых и эрмитовых пространств (самосопряженные, унитарные, ортогональные операторы), норму линейного отображения, сингулярное и полярное разложение, теорию билинейных и квадратичных форм на векторных пространствах. В качестве следствия выводится классификация поверхностей второго порядка в конечномерном евклидовом пространстве.

Содержание разделов и тем курса:

1семестр

Основы аналитической геометрии

Геометрические векторы: определение, операции сложения векторов и умножения вектора на вещественное число, свойства операций. Линейные комбинации геометрических векторов, линейная зависимость и независимость, базис и единственность разложение вектора по базису, преобразование координат при сложении векторов и умножении на число.

Декартова система координат: координаты точки и вектора, заданного двумя точками, деление отрезка в данном отношении. Полярная система координат на плоскости, цилиндрическая и сферическая системы координат в пространстве.

Скалярное произведение геометрических векторов: определение и основные свойства, скалярное произведение линейных комбинаций, формула скалярного произведения в координатах в ортонормированном базисе, выражение длины вектора и угла между ненулевыми векторами через скалярное произведение, формулы ортогональной проекции вектора на направление ненулевого вектора и разложения вектора по ортогональному базису.

Векторное произведение геометрических векторов: определение, основные свойства, векторное произведение линейных комбинаций, формула векторного произведения в правом ортонормированном базисе, ориентированная площадь параллелограмма на плоскости и определитель второго порядка.

Смешанное произведение геометрических векторов: определение, основные свойства, связь с ориентируемым объемом параллелепипеда и выражение через координаты в правом ортонормированном базисе в виде определителя третьего порядка.

Дополнительные свойства векторного произведения: двойное векторное произведение, тождество Якоби, скалярное произведение двух векторных произведений, формула косинусов сферической геометрии, векторное произведение и формулы Крамера.

7

Преобразование координат вектора и точки при замене базиса и декартовой системы координат, вид параллельных переносов, отражений и поворотов плоскости в координатах в подходящей декартовой системе координат.

Уравнения прямой на плоскости: общее, нормальное, в отрезках координатных осей, параметрические, каноническое, по двум точкам, через определитель.

Уравнения плоскости в пространстве: общее, нормальное, в отрезках координатных осей, параметрические, каноническое, по трем точкам, через определитель.

Уравнения прямой в пространстве: задание системой двух линейных уравнений, параметрические уравнения, каноническое, по двум точкам.

Формулы расстояний между двумя точками, от точки до прямой на плоскости, от точки до плоскости в пространстве, от точки до прямой в пространстве, между параллельными и скрещивающимися прямыми в пространстве.

Вычисление углов между двумя ненулевыми векторами, между прямыми на плоскости, между плоскостями в пространстве, между прямой и плоскостью в пространстве.

Эллипс, гипербола и парабола: каноническое уравнение, свойства симметрии и характеристики, фокальное, директориальное и оптическое свойства.

Эллипсоид: каноническое уравнение, свойства симметрии и характеристики, теорема о круговых сечениях.

Конус: каноническое уравнение, свойства симметрии, теорема о плоских сечениях кругового конуса.

Однополостный и двуполостный гиперболоиды: каноническое уравнение, свойства симметрии, теорема о прямолинейных образующих.

Эллиптический и гиперболический параболоиды: каноническое уравнение, свойства симметрии, теорема о прямолинейных образующих. Классификация и вид цилиндрических поверхностей.

Введение в алгебру, системы линейных уравнений, матрицы и определители

Алгебраические операции, алгебраические структуры, изоморфизм. Абелевы группы, кольца, поля: аксиоматика, примеры, простейшие следствия аксиом. Характеристика поля. Кольца вычетов и поля вычетов по модулю натурального числа.

Векторные пространства: аксиоматика, примеры, простейшие следствия аксиом, базисы и теорема об изоморфизме координатным пространствам.

8

Алгебры: аксиоматика, примеры, теорема о задании алгебр произведениями базисных элементов, поле комплексных чисел. Алгебра матриц.

Системы линейных уравнений и метод Гаусса: приведение матриц к ступенчатому и разрешенному виду, критерий совместности и общее решение совместной системы линейных уравнений, однородные системы и фундаментальные системы решений.

Теорема о размерности векторного пространства. Подпространства и ранг системы векторов, теорема о базисе и размерности подпространств.

Перестановки и определитель матрицы как функция системы ее строк, теорема о существовании и единственности. Дополнительные свойства определителя: поведение при элементарных преобразованиях системы строк, определитель треугольной матрицы, транспонированной матрицы, полураспавшейся матрицы, произведения матриц.

Теорема о разложении определителя по строке (столбцу), формула для обратной матрицы, формулы Крамера в общем случае. Теорема о ранге для матриц.

Начала теории чисел и модулярная арифметика

Кольцо целых чисел: теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель и алгоритм Евклида. Критерий разрешимости линейного диофантова уравнения и алгоритм поиска частного решения. Свойства взаимно простых чисел.

Общее решение линейного диофантова уравнения. Основная теорема арифметики.

Конструкция кольца вычетов по модулю n, критерий обратимости числа по модулю n, поле вычетов. Китайская теорема об остатках (древняя и новая формы), сведение к примарному модулю, представление арифметики больших чисел в 32разрядной бинарной арифметике.

Группа обратимых элементов кольца вычетов по модулю n: определение и вычисление функции Эйлера, теорема об общем периоде элементов конечной абелевой группы, малая теорема Ферма и ее обобщение --- формула Эйлера. Определение циклической группы, три леммы о порядках элементов и теорема цикличности конечной подгруппы мультипликативной группы поля. Определение дискретного логарифма и описание RSA-криптографии с открытым ключом. Простые числа: бесконечность и критерий простоты через биномиальные коэффициенты.

Группы подстановок: определение, правило умножения и теорема о групповой структуре, знак подстановки и его мультипликативность, разложение на циклы и транспозиции, знак и количество транспозиций в разложении.

Определение символа Якоби (по Золотареву), его свойства: мультипликативность, критерий разрешимости квадратичного уравнения по простому модулю, вы-

9

числение символа -1 и 2 по отношению к n, периодичность и закон взаимности Гаусса--Якоби.

Тематика практических занятий (1-й семестр)

1.Геометрические векторы – линейные комбинации, зависимость, деление отрезка в данном отношении.

2.Скалярное произведение геометрических векторов.

3.Векторное произведение геометрических векторов.

4.Смешанное произведение и ориентированный объем.

5.Уравнения прямых и плоскостей, расстояния и углы.

6.Уравнения прямых и плоскостей, расстояния и углы.

7.Эллипс.

8.Гипербола.

9.Парабола и приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду.

10.Свойства поверхностей второго порядка в каноническом виде.

11.Свойства поверхностей второго порядка в каноническом виде.

12.Аксиоматика групп, колец, полей, кольца вычетов.

13.Аксиоматика векторных пространств и алгебр , поле комплексных чисел.

14.Алгебра матриц.

15.Системы линейных уравнений и подпространства.

16.Определители и их свойства.

17.Определители и ранг матрицы.

18.Целые числа – НОД и алгоритм Евклида, решение линейных диофантовых уравнений.

19.Кольца и поля вычетов, решение линейных уравнений, китайская теорема об остатках.

20.Мультипликативная группа поля вычетов, циклические группы и дискретный логарифм.

21.Группы подстановок, разложение на циклы и на транспозиции.

22.Решение квадратичных уравнений по модулю n, символы Якоби и Лежандра.

10