MetodTM2

Для определения динамической реакции шарнира О1 диска 1 применим теорему о движении центра масс. Выберем оси координат O1x и O1y , как показано на рис. 5.9, и составим уравнение движения центра масс диска 1 в

проекциях на оси координат с учётом того, что сам центр масс неподвижен и его ускорение равно нулю.

Получим систему:

нат хСу показаны на рис. 5.10. Уравнения движения центра масс диска 2 в про-

екциях на оси x, y имеют вид:

m2aC = H + Fсц − F2cos60o ,

0 = −F2cos30o − P2 + N .

С учетом найденных значений реакции стержня Н = 28,63 Н и ускорения центра масс диска 2 aC = 6,85 м/с2, находим силу сцепления и нормальную ре-

акцию опоры: Fсц = 28,27 Н, N = 85,98 Н.

Полная реакция опоры RK = N 2 + Fсц2 = 90,51 Н.

123

6.АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

6.1.Принципы механики. Общее уравнение динамики

Силой инерции материальной точки называют векторную величину, мо-

дуль которой равен произведению массы точки на модуль её ускорения, и на-

правленную противоположно этому ускорению

приложенных к каждой точке тела, приводится к главному вектору сил инер-

ции Rи , равному по величине Rи = maс , приложенному в центре масс тела и направленному в сторону, противоположную ускорению aс (рис. 6.1).

При вращении тела вокруг неподвижной оси z, проходящей через центр масс, главный вектор сил инерции, приведённый к центру масс тела, обращает-

ся в нуль (так как ускорение центра масс равно нулю). Таким образом, система

инерции в сторону, противоположную угловому ускорению (рис. 6.2).

При плоскопараллельном движении тела с ускорением центра масс aс и

угловым ускорением ε система сил инерции, приложенных к каждой точке те-

ла, приводится к силе Rи , равной главному вектору сил инерции, и паре сил с моментом M и , равным главному моменту сил инерции относительно оси,

124

элементарных работ всех активных сил, приложенных к точкам системы, была равна нулю на любом возможном перемещении системы: åδA(Fkакт ) = 0, где

δA(Fkакт ) – элементарная работа активных сил на возможном перемещении.

Совместное применение принципа Даламбера и принципа возможных пе-

ремещений приводит к формулировке общего уравнения динамики.

Общее уравнение динамики. При движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении равна нулю: å δA(Fkакт ) + åδA(Rkи ) = 0, где δA(Fkакт ) , δA(Rkи ) – элементарные работы активных сил и сил инерции, приложенных к системе, на её воз-

можном перемещении.

При вычислении элементарных работ активных сил и сил инерции ис-

пользуют обычные формулы для вычисления работы сил на элементарном пе-

ремещении точек их приложения. При этом переменные силы на элементарном перемещении точек их приложения считаются постоянными.

6.2.Задание Д6. Исследование механической системы

сприменением общего уравнения динамики

Механическая система состоит из груза и двух дисков. Радиус однородно-

го диска R или r и радиусы ступеней ступенчатого диска R и r указаны на схеме.

Тела соединены нерастяжимыми нитями или невесомыми стержнями. Система движется в вертикальной плоскости из состояния покоя под действием сил тя-

жести P1, P2 , P3 , постоянной силы F , а также пары сил с переменным момен-

том М. Направление действия силы F и наклон плоскости движущихся тел оп-

ределяются углами α и β , показанными на схемах. Радиус инерции ступенча-

того диска относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения, iz .

126

Качение дисков без проскальзывания. Скольжение между невесомым стержнем и дисками отсутствует. Движение грузов по плоскости без трения.

Нити и стержни, соединяющие груз и диски, параллельны соответствующим плоскостям, по которым двигаются тела.

Найти уравнение движения центра масс диска 3. Определить реакцию шарнира диска 2 в момент времени t = 1 с. Варианты задания приведены на рис. 6.4 – 6.5. Исходные данные выбираются из табл. 6.1.

Рис. 6.4. Задание Д6. Исследование движения механической системы с применением общего уравнения динамики.

Номера вариантов задания 1 – 4, 11 – 14, 21 – 24

127

Рис. 6.5. Задание Д6. Исследование движения механической системы с применением общего уравнения динамики.

Номера вариантов задания 5 – 10, 15 – 20, 25 – 30

128

Таблица 6.1

Исходные данные задания Д6. Исследование движения механической системы с применением общего уравнения динамики

Пример выполнения задания Д6. Исследование движения механической системы с применением общего уравнения динамики

Механическая система состоит из груза 1, движущегося поступательно,

ступенчатого диска 2 (каток), катящегося по неподвижной поверхности,

129

и однородного диска 3 (блок), вращающегося вокруг неподвижной оси, прохо-

дящей через центр масс блока (рис. 6.6). Качение катка 2 без проскальзывания,

функцию времени и в момент t = 1 с, если: P1 = 10 Н; P2 = 20 Н; P3 = 15 Н;

F = 5(t+1) Н; M = 6(1+ 2t) Н·м; R2 = 0,8 м; r2 = 0,2 м; R3 = 0,4 м; i2С = 0,6 м.

Решение

В рассматриваемой механической системе активными силами являются силы тяжести P1, P2 , P3 , сила F и пара сил с моментом М. Реакциями связей являются нормальные реакции опор: N1, N2 , сила сцепления катка 2 с непод-

вижной поверхностью Fсц и реакция шарнира О блока 3, разложенная на со-

ставляющие X3 , Y3 (рис. 6.7). Связи идеальные, так как скольжение груза 1

происходит по гладкой поверхности без трения, качение диска 2 без проскаль-

зывания, а ось вращения блока 3 неподвижна. Предположим, направление дви-

жения в системе задаёт пара сил с моментом М, приложенная к блоку 3. Блок 3

вращается с угловой скоростью ω3 и угловым ускорением ε3 , скорость центра масс катка 2 – VC , его ускорение – aC , угловые скорость и ускорение катка 2 –

ω2 и ε2 , скорость и ускорение груза 1 – V1 и a1 . Направления векторов скоро-

стей и ускорений точек и угловых скоростей и ускорений тел показаны на рис. 6.7.

130

Общее уравнение динамики имеет вид:

жение, его центр масс – точку С. Тогда система сил инерции катка 2 приводятся к силе, равной главному вектору сил инерции R2и , приложенному в центре масс катка 2, и паре сил с моментом, равным главному моменту сил инерции M2и от-

носительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения. Главный вектор сил инерции направлен в сторону, противополож-

ную ускорению aC , и равен по величине R2и = m2 aС , где m2 – масса катка 2; aC

– величина ускорения центра масс, Главный момент сил инерции по величине равен: M 2и = J2Cε2 , где J2C – момент инерции катка 2 относительно оси, про-

ходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения; ε2 – угловое ускорение катка 2. Направление главного момента сил инерции M 2и в сторону,

противоположную угловому ускорению ε2.

131