2196_teoriya matrits_kvm_2sem_
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Московский физико-технический институт (государственный университет)»
«УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной и методической работе
Д.А. Зубцов
|
Рабочая программа дисциплины (модуля) |
|
по дисциплине: |
Теория матриц |
|
по направлению: |
Прикладная математика и информатика (бакалавриат) |
|
профиль подготовки: |
Прикладная математика и информатика (общий) |
|
факультет: |
аэромеханики и летательной техники |
|
кафедра: |
высшей математики |
|
курс: |
1 |
|
квалификация: |
бакалавр |
|
Семестр, формы промежуточной аттестации: 2(Весенний) - Экзамен |
|
|
Аудиторных часов: 68 всего, в том числе: |
|
|
лекции: 34 час. |
|
|
практические (семинарские) занятия: 34 час. |
|
|
лабораторные занятия: 0 час. |
|
|
Самостоятельная работа: 10 час. |
|
|
Подготовка к экзамену: 30 час. |
|
|
Всего часов: 108, всего зач. ед.: 3 |
|
|
Количество курсовых работ, заданий: 2 |
|
|
Программу составил: |
А.Н. Бурмистров, к.ф.м.н, доцент |
|
Программа обсуждена на заседании кафедры |
|
|
9 октября 2014 г. |
|
|
СОГЛАСОВАНО: |
|
|
Декан факультета аэромеханики и летательной техники |
В.В. Вышинский |
|
Начальник учебного управления |
И.Р. Гарайшина |
|
1. Цели и задачи
Цель дисциплины
Целью дисциплины «Теория Матриц» является формирование:
–мировоззрения в тематических областях естественнонаучных знаний, связанных с изучением свойств конечных или бесконечных структур, связанных с применением понятий вектора и матрицы;
–базовых знаний для дальнейшего использования в других областях математики и дисциплинах естественнонаучного содержания;
–математической культуры, исследовательских навыков и способности понимать, совершенствовать и применять на практике современный математический аппарат.
Задачи дисциплины
–ознакомление обучающихся с основными тематическими областями, в которых возникает необходимость применения аппарата теории матриц;
–формирование у обучающихся базовых знаний и навыков по применению основных методов решения характерных математических задач теории матриц;
–формирование общематематической культуры, умения логически мыслить, проводить доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи и аналогии между понятиями;
–формирование умений и навыков применять полученные знания для самостоятельного решения задач и анализа полученных результатов.
2.Место дисциплины (модуля) в структуре образовательной программы
Данная дисциплина отновисится к вариативной части образовательной программы.
Дисциплина «Теория матриц» базируется на дисциплинах: Введение в математический анализ; Линейная алгебра; Информатика; Аналитическая геометрия.
Дисциплина «Теория матриц» предшествует изучению дисциплин: Математическая статистика; Теория вероятностей; Численные методы ; Компьютерные сети.
3. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю), соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной программы
Освоение дисциплины направлено на формирование следующих общекультурных, общепрофессиональных и профессиональных компетенций:
способность использовать базовые знания естественных наук, математики и информатики, основные факты, концепции, принципы теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой (ОПК-1); способность понимать, совершенствовать и применять современный математический аппарат
(ПК-2).
В результате освоения дисциплины обучающиеся должны
знать:
–операции над матрицами (произведение, кронекеровское произведение);
–свойства кронекеровского произведения матриц, вычисление определителя;
–методы построения LU и LDU разложения матрицы с ненулевыми главными угловыми минорами;
–формулу для интерполяционного многочлена Лагранжа и процедуру построения интерполяционного многочлена ЛагранжаСильвестра ;
–операции с блочными матрицами и обобщенный алгоритм Гаусса, обращение блочных матриц и вычисление их определителей;
–формулу Бине-Коши;
–процедуру решения матричного уравнения AXB=C с привлечением понятия кронекеровского произведения;
–понятие идеала в множестве многочленов и представление наибольшего общего делителя системы многочленов;
–лямбда матрицы, правое и левое деление и теорему Безу;
–аннулирующий минимальный скалярный многочлен, его выражение через наибольший общий делитель элементов присоединенной матрицы, теорему Гамильтона-Кели, нахождение присоединенной матрицы по характеристическому многочлену;
–понятия ядра, образа, инвариантного подпространства преобразования, инвариантность ядра и образа для коммутирующих операторов;
–теорему о разложении пространства в прямую сумму инвариантных подпространств;
–теорему Гершгорина и достаточное условие невырожденности матрицы;
–построение характеристического уравнения для многочлена от оператора;
–нильпотентный оператор, критерий нильпотентности, структура нильпотентного оперетора, циклические пространства;
–линейную независимость векторов относительно подпространства, базис относительно подпространства, прямая сумма подпространств;
–корневые подпространства, высота корневого вектора;
–разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств, выбор базиса в корневом подпространстве, собственные и присоединенные вектора;
–связь характеристических чисел матриц AB и BA;
–понятие функции от матриц, значение функции на спектре матрицы;
–теорему Пифагора для объема m-мерного параллелепипеда в n-мерном пространстве;
уметь:
–применять метод исключения Гаусса;
–выполнять LU и LDU разложения матриц;
–пользоваться кронекеровским произведением матриц, в частности, вычислять определитель кронекеровского произведения;
–решать уравнение типа AXB=C, используя кронекеровское произведение;
–использовать блочные операции для вычисления определителя и обращения матриц;
–пользоваться неравенством Сильвестра для оценки ранга произведения матриц;
–доказывать, что а) идеал в множестве многочленов является главным идеалом, б) наибольший общий делитель системы многочленов может быть по ним разложен;
–вычислять минимальный аннулирующий многочлен матрицы;
–находить присоединенную матрицу по характеристическому многочлену;
–приводить оператор к диагональному виду в случае, если он диагонализуем;
–доказывать невырожденность матрицы, используя теорему Гершгорина;
–оценивать расположение характеристических чисел оператора на комплексной плоскости;
–находить характеристические числа многочлена от оператора;
–находить характеристический многочлен AB, зная хактеристический ногочлен BA;
–строить интерполяционные многочлены Лагранжа и Лагранжа-Сильвестра;
–приводить оператор к Жордановой форме, находя базис из цепочек собственных и присоединенных векторов;
–вычислять целые функции от матриц по значению их на спектре матрицы;
владеть:
–методами блочных операций с матрицами;
–методами вычисления определителей:
–алгоритмом LU и LDU разложений;
–алгоритмом решения матричного уравнения AXB=C с использованием кронекеровского произведения;
–методом оценки расположения характеристических чисел с применением теоремы Гершгорина;
–алгоритмом построения интерполяционного многочлена Лагранжа-Сильвестра;
–алгоритмом вычисления целой функции от матрицы по ее значению на спектре;
–построения Жорданова базиса;
4.Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и видов учебных занятий
4.1. Разделы дисциплины (модуля) и трудоемкости по видам учебных занятий
|
|
Виды учебных занятий, включая самостоятельную |
||||
|
|
|
|
работу |
|
|
№ |
Тема (раздел) дисциплины |
|
|
|
|
|
|
Практич. |
Лаборат. |
Задания, |
Самост. |
||
|
|
Лекции |
(семинар.) |
курсовые |
||
|
|
|
задания |
работы |
работы |
работа |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Разложения матриц |
2 |
2 |
|
|
1 |
2 |
Ранг матрицы. Блочные матрицы |
6 |
6 |
|
|
1 |
3 |
Линейные операторы |
8 |
8 |
|
|
1 |
4 |
Идеал |
2 |
2 |
|
|
1 |
5 |
Ядро и образ оператора. Инвариантное |
8 |
8 |
|
|
1 |
подпространство |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
Базис. Сумма подпространств |
8 |
8 |
|
|
5 |
Итого часов |
34 |
34 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подготовка к экзамену |
30 час. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Общая трудоёмкость |
108 час., 3 зач.ед. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4.2. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам)
Семестр: 2 (Весенний)
1. Разложения матриц
Метод исключения Гаусса. Разложение матриц на треугольные множители.
LU и LDU разложения матрицы, их единственность. Скелетное разложение матрицы.
2. Ранг матрицы. Блочные матрицы
Формула Бине-Коши. Ранг произведения матриц. Суммы главных миноров матриц AB и BA. Формула Бине-Коши и теорема Пифагора для объема параллелепипеда. Формула Лапласа.
Операции с блочными матрицами. Обобщенный алгоритм Гаусса. Вычисление определителей некоторых блочных матриц. Обращение блочных матриц. Обратная к блочно-треугольной матрице. Циклические матрицы и операции с ними. Обратная к циклической матрице.
3. Линейные операторы
Сложение и умножение линейных операторов. Неравенство Сильвестра. Кронекеровское произведение матриц и его свойства. Решение уравнения AXB=C.
4. Идеал
Многочлены. Идеал в множестве многочленов. Главный идеал. Выражение для наибольшего общего делителя. Многочлен от оператора. Ядро наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного операторных многочленов.
5. Ядро и образ оператора. Инвариантное подпространство
Лямбда - матрицы. Правое и левое деление. Теорема Безу. Аннулирующий многочлен. Его существование. Теорема Гамильтона-Кели. Присоединенная матрица и минимальный аннулирующий многочлен. Нахождение присоединенной матрицы по характеристическому многочлену.
Ядро и образ оператора. Инвариантное подпространство. Индуцированный оператор. Разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств. Коммутирующие операторы, инвариантность ядра и образа. Характеристические числа, собственные вектора и характеристический многочлен оператора. Диагонализуемые операторы. Теорема Гершгорина. Достаточное условие невырожденности матрицы. Многочлен от оператора, его характеристический многочлен. Связь характеристических многочленов матриц AB и BA. Нильпотентный оператор. Критерий нильпотентности. Структура нильпотентного оператора. Циклические пространства.
6. Базис. Сумма подпространств
Линейная независимость векторов относительно подпространства. Базис относительно подпространства. Сумма и прямая сумма подпространств. Корневые подпространства. Высота корневого вектора. Разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств. Выбор базиса в корневом подпространстве. Собственные и присоединенные вектора. Верхняя и нижняя Жорданова форма матрицы оператора.
Приведение матрицы оператора к верхнему треугольному виду.
Интерполяционные многочлены Лагранжа и Лагранжа-Сильвестра. Функции от матриц. Значение функции на спектре матрицы.
5. Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления образовательного процесса по дисциплине (модулю)
Учебная аудитория, оснащенная доской, мультимедиапроектором, экраном и микрофоном.
6. Перечень основной и дополнительной литературы, необходимой для освоения дисциплины (модуля)
Основная литература
1.Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М. Наука, 1966.
2.Ланкастер П. Теория матриц М., Наука, Физматлит, 1973.
3.Халмош П. Конечномерные векторные пространства, Физматгиз, М.,1963.
4.Беллман Р., Введение в теорию матриц, Наука, М., 1976.
5.Воеводин В. В. Линейная алгебра. М., Наука, 1980.
6.Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры М., Наука, 1983.
Дополнительная литература
1.Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ, М., Наука, 1969
2.Мальцев А.И. Основы линейной алгебры, М., Наука, 1970.
3.Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре, М., Наука, 1971.
7.Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине (модулю)
1.Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра М., изд. МГТУ им Н.Э. Баумана, 2002.
2.Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления, М., Наука, 1984.
3.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры М., Наука, 1987.
8.Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет", необходимых для освоения дисциплины (модуля)
1.http://lib.mipt.ru – электронная библиотека Физтеха.
2.http://www.exponenta.ru – образовательный математический сайт.
3.http://mathnet.ru – общероссийский математический портал.
4.http://www.edu.ru – федеральный портал «Российское образование».
5.http://benran.ru –библиотека по естественным наукам Российской академии наук.
6.http://techlibrary.ru/books.htm – техническая библиотека.
9.Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости)
На лекционных занятиях используются мультимедийные технологии, включая демонстрацию презентаций.
Для контроля и коррекции знаний обучающиеся могут использовать компьютерное тестирование.
В процессе самостоятельной работы обучающихся возможно использование таких программных средств, как Grin, Mathematica, Scilab и др.
10. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
Студент, изучающий курс теории матриц, должен с одной стороны, овладеть общим понятийным аппаратом, а с другой стороны, должен научиться применять теоретические знания на практике.
Поскольку в современной литературе существует, как правило, несколько вариантов определений рассматриваемых понятий, при изучении теоретического материала студенту рекомендуется придерживаться одного основного источника – курса лекций.
Успешное освоение курса требует самостоятельной работы студента. В программе курса приведено минимально необходимое время для работы студента над темой.
Самостоятельная работа должна включать в себя:
–чтение и конспектирование рекомендованной литературы;
–проработку учебного материала (по конспектам лекций, учебной и научной литературе);
–подготовку ответов на вопросы, предназначенные для самостоятельного изучения;
–доказательство отдельных утверждений, свойств;
–решение задач, предлагаемых студентам на лекциях и практических занятиях;
–подготовку к практическим занятиям, семестровой контрольной работе, экзамену.
Руководство и контроль самостоятельной работы студента осуществляется в форме индивидуальных консультаций.
Показателем владения материалом служит умение решать задачи. Для формирования умения применять теоретические знания на практике студенту необходимо решать как можно больше задач. При решении задач каждое действие необходимо аргументировать, ссылаясь на известные теоретические сведения.
При освоении курса теории матриц целесообразно придерживаться следующей схемы: изучение материала лекции по конспекту в тот же день, когда была прослушана лекция (ориентировочно 10-15 минут); повторение материала накануне следующей лекции (ориентировочно 10-15 минут), проработка учебного материала по конспектам лекций, учебной и научной литературе, подготовка ответов на вопросы, предназначенных для самостоятельного изучения (ориентировочно 1 час неделю), подготовка к практическому занятию, решение задач (ориентировочно 1 час). При подготовке к практическим занятиям необходимо повторять ранее изученные основные определения, формулировки теорем. В начале занятия, как правило, проводится короткий (ориентировочно 10-15 минут) опрос по материалу прошедших занятий в устной или письменной форме.
Важно добиться понимания изучаемого материала, а не механического его запоминания. При затруднении изучения отдельных тем, вопросов, следует обращаться за консультациями к лектору или преподавателю, ведущему практические занятия.
Обязательным требованием является выполнение домашних работ, которые оформляются в специально отведённой для этого тетради и систематически сдаются на проверку.
Промежуточный контроль знаний проводится в виде письменных контрольных работ, на которых студенту предлагается письменно ответить на теоретический вопрос и решить несколько задач по зачетной теме. Также студенту в ходе освоения курса необходимо выполнить два домашних индивидуальных задания с их последующей защитой:
1 «Блочные операции, многочлен Лагранжа-Сильвестра, кронекеровское произведение, формула Бине-Коши»; 2. «Минимальный аннулирующий многочлен, теорема Гершгорина, характеристический
многочлен произведения матриц, приведение к Жордановой форме».
Перечень основных теоретических вопросов для промежуточного контроля знаний:
–формулировка теоремы о LDU разложении, его единственность;
–определение скелетного разложения матрицы;
–формулировка и доказательство неравенства Сильвестра для ранга произведения матриц;
–теорема Бине-Коши;
–определение и свойства операций с блочными матрицами, обратная к блочно-треугольной матрице;
–определение и свойства циклических матриц;
–кронекеровское произведение, его свойства (определитель и обратная матрица);
–применение кронекеровского произведения к решению уравнения AXB=C;
–определение идеала и главного идеала, представление наибольшего общего делителя;
–определение многочлена от оператора, его характеристический многочлен, ядро наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного операторных многочленов;
–определение лямбда-матрицы, правое и левое деление, теорема Безу;
–определение аннулирующего и минимального аннулирующего многочлена;
–теорема Гамильтона-Кели;
–определение присоединенной матрицы и нахождение минимального аннулирующего многочлена;
–определение ядра, образа и инвариантного подпространства оператора;
–определение коммутирующих операторов, доказательство перекрестной инвариантности ядра и образа;
–теорема Гершгорина, ее доказательство, достаточное условие невырожденности матрицы;
–связь характеристических многочленов AB и BA;
–определение и критерий нильпотентности оператора;
–определение линейной независимости относительно подпространства, базис относительно подпространства;
–определение корневого подпространства и высоты корневого вектора;
–разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств, присоединенные вектора, циклические подпространства;
–приведение матрицы оператора к Жордановой форме;
–определение спектра матрицы и значения функции на спектре, вычисление функции от матрицы.
11. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам обучения
Приложение
ПРИЛОЖЕНИЕ
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
по направлению: |
Прикладная математика и информатика (бакалавриат) |
профиль подготовки: |
Прикладная математика и информатика (общий) |
факультет: |
аэромеханики и летательной техники |
кафедра (название): |
высшей математики |
курс: |
1 |
квалификация: |
бакалавр |
Семестр, формы промежуточной аттестации: 2(Весенний) - Экзамен
Разработчик: А.Н. Бурмистров, к.ф.м.н, доцент
1. Компетенции, формируемые в процессе изучения дисциплины
Освоение дисциплины направлено на формирование у обучающегося следующих общекультурных (ОК), общепрофессиональных (ОПК) и профессиональных (ПК) компетенций:
способность использовать базовые знания естественных наук, математики и информатики, основные факты, концепции, принципы теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой (ОПК-1); способность понимать, совершенствовать и применять современный математический аппарат
(ПК-2).
2.Показатели оценивания компетенций
Врезультате изучения дисциплины «Теория матриц» обучающийся должен:
знать:
–операции над матрицами (произведение, кронекеровское произведение);
–свойства кронекеровского произведения матриц, вычисление определителя;
–методы построения LU и LDU разложения матрицы с ненулевыми главными угловыми минорами;
–формулу для интерполяционного многочлена Лагранжа и процедуру построения интерполяционного многочлена ЛагранжаСильвестра ;
–операции с блочными матрицами и обобщенный алгоритм Гаусса, обращение блочных матриц и вычисление их определителей;
–формулу Бине-Коши;
–процедуру решения матричного уравнения AXB=C с привлечением понятия кронекеровского произведения;
–понятие идеала в множестве многочленов и представление наибольшего общего делителя системы многочленов;
–лямбда матрицы, правое и левое деление и теорему Безу;
–аннулирующий минимальный скалярный многочлен, его выражение через наибольший общий делитель элементов присоединенной матрицы, теорему Гамильтона-Кели, нахождение присоединенной матрицы по характеристическому многочлену;
–понятия ядра, образа, инвариантного подпространства преобразования, инвариантность ядра и образа для коммутирующих операторов;
–теорему о разложении пространства в прямую сумму инвариантных подпространств;
–теорему Гершгорина и достаточное условие невырожденности матрицы;
–построение характеристического уравнения для многочлена от оператора;
–нильпотентный оператор, критерий нильпотентности, структура нильпотентного оперетора, циклические пространства;
–линейную независимость векторов относительно подпространства, базис относительно подпространства, прямая сумма подпространств;
–корневые подпространства, высота корневого вектора;
–разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств, выбор базиса в корневом подпространстве, собственные и присоединенные вектора;
–связь характеристических чисел матриц AB и BA;
–понятие функции от матриц, значение функции на спектре матрицы;
–теорему Пифагора для объема m-мерного параллелепипеда в n-мерном пространстве;
уметь: